Teoria ryzyka w ubezpieczeniach

fakultatywne

Podstawowe zagadnienia kalkulacji składki.

1.Podstawowe zagadnienia kalkulacji składki. Wycena ryzyka przy znanym rozkładzie prawdopodobieństwa. Ryzyka zależne i kłopoty z dywersyfikacją. Rozpoznawanie rozkładu prawdopodobieństwa ryzyka. (2 ? 4 g.)

2.Model ryzyka indywidualnego. Sploty rozkładów dyskretno-ciągłych. Sploty rozkładów arytmetycznych. Momenty zwykłe i centralne, współczynnik zmienności, skośność i kurtoza. Funkcja generująca momenty, funkcja generująca kumulanty. Rozmiary portfela ryzyk a charakterystyki rozkładu łącznej wartości szkód. (4 g.)

3.Model ryzyka łącznego- rozkłady liczby szkód. Rozkład Poissona. Rozkład ujemny dwumianowy jako efekt niejednorodności populacji ryzyk. Przykład: analiza danych empirycznych. Rozkład ujemny dwumianowy jako rozkład złożony. (4 g.)

4.Model ryzyka łącznego- rozkłady łącznej wartości szkód Złożony rozkład Poissona, złożony rozkład dwumianowy i złożony rozkład ujemny dwumianowy. Wyznaczanie rozkładu łącznej wartości szkód za pomocą wzoru rekurencyjnego Panjera. Dyskretyzacja ciągłych rozkładów wartości pojedynczej szkody. (4- 6 g.)

5.Zaawansowane rozkłady liczby szkód. Przykłady pozornych i rzeczywistych komplikacji modeli podstawowych. Niejednorodna populacja ubezpieczonych i rozkład beta-dwumianowy. Wieloetapowe modelowanie ilości szkód ? rozkłady z ogonem Poissona Rozkłady z klasy (a, b, 1). Złożone rozkłady liczby szkód. (do 4g.)

6.Zagadnienia podziału ryzyka. Typowe sposoby podziału ryzyka. Teoria użyteczności i optymalny podział ryzyka. Nadwyżka zmiennej losowej ponad ustaloną wartość jako zmienna losowa. Teoria użyteczności i porządkowanie ryzyk. Momenty nadwyżki zmiennej losowej ponad ustaloną wartość. Efekt inflacyjny w kontraktach nieproporcjonalnych. (4 g.)

7.Aproksymacje rozkładu łącznej wartości szkód i kalkulacja składki. Proste aproksymacje rozkładu łącznej wartości szkód. Aproksymacja szeregiem potęgowym standaryzowanej zmiennej normalnej. Złożony rozkład Poissona: kontrola jakości aproksymacji poprzez limitowanie wypłat za indywidualne szkody. Dekompozycja składki za portfel ryzyk na składkę za pojedyncze ryzyka (4 g.)

8.Modele zależności ryzyk i kalkulacja składki. Wartość i liczba szkód warunkowo zależne. Wartość i liczba szkód warunkowo niezależne, ale bezwarunkowo zależne. Rozkład łącznej wartości szkód mieszany rozkładem parametru częstotliwości szkód i parametru skali wartości pojedynczej szkody, formuły składki. (2 - 4 g.)

Uwagi dodatkowe: Zajęcia kontynuowane w semestrze zimowym w postaci Teorii Ryzyka w Ubezpieczeniach II lub IIb, każdy z ww. wariantów programu realizowany raz na dwa lata.

W.Otto Ubezpieczenia majątkowe Część I: Teoria Ryzyka, z serii WNT Matematyka w Ubezpieczeniach, 2004, rozdziały 1-8

Student zna:

1) podstawowe zagadnienia związane z modelowaniem ryzyka w ubezpieczeniach i potrafi kalkulować składkę ubezpieczeniową tak w skali portfela ryzyk, jak i w odniesieniu do indywidualnej umowy ubezpieczeniowej,

2) modele dotyczące indywidualnej umowy ubezpieczenia, oraz modele dotyczące portfela umów zawieranych przez ubezpieczyciela,

3) pogłębione własności rozkładów prawdopodobieństwa określonych na półosi nieujemnej, rozkładów o mieszanym – dyskretno-ciągłym charakterze, operacji na rozkładach (znane wcześniej operacje splotu i mieszania, nowe zagadnienie rozkładów złożonych) oraz procesu Poissona, w tym własności rozkładów liczących, które stanowią najczęstszą alternatywę dla rozkładu Poissona w modelowaniu liczby szkód,

4) zagadnienia przybliżenia rozkładu o znanych momentach kilku pierwszych rzędów i zagadnienie dyskretyzacji rozkładów ciągłych.

5) zagadnienia podziału ryzyka - pomiędzy ubezpieczonego i ubezpieczyciela, jak również ubezpieczyciela i reasekuratora.

Student potrafi:

1) przekładać problemy i zadania zrodzone na gruncie praktyki ubezpieczeniowej na modele rachunku prawdopodobieństwa,

2) współpracować z praktykami. W życiu zawodowym nasz absolwent będzie miał przewagę w zakresie technik modelowania matematycznego, służących szukaniu i znajdywaniu rozwiązań problemów praktycznych,

3) przekładać problemy z języka praktyki na język matematyki i odwrotnie.

Ocena na podstawie wyników egzaminu pisemnego.