Wybrane zagadnienia deskryptywnej teorii mnogości

matematyka

monograficzne

Do uczestnictwa w wykładzie niezbędna jest znajomość teorii mnogości w zakresie nieco przekraczającym materiał ,,Wstępu do matematyki” (indukcja pozaskończona, liczby porządkowe i kardynalne) oraz elementarnych pojęć topologii ogólnej w zakresie wykładu ,,Topologia I”.

Wykład będzie dotyczył wybranych zagadnień deskryptywnej (inaczej: opisowej) teorii mnogości. Jest to dział teorii mnogości zajmujący się badaniem ,,defniowalnych" podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych (i przestrzeni pokrewnych, takich jak R^n, zbiór Cantora bądź inne przestrzenie nieskończonych ciągów). Do zbiorów ,,defniowalnych" należą w szczególności zbiory borelowskie oraz ich obrazy względem funkcji ciągłych. Zbiory takie mają różne regularne własności: są mierzalne w sensie Lebesgue'a, mają własność Baire'a (która jest topologicznym odpowiednikiem mierzalności), a hipoteza continuum ograniczona do ich rodziny jest prawdziwa. Pojęcia i wyniki deskryptywnej teorii mnogości znajdują zastosowanie w wielu różnorodnych działach matematyki oraz w informatyce teoretycznej.

1. Przestrzenie polskie, hierarchia zbiorów borelowskich, hiperprzestrzeń zbiorów zwartych, własność Baire’a i zbiory pierwszej kategorii.

2. Zbiory analityczne: charakteryzacje, istnienie zbiorów analitycznych nieborelowskich, regularne własności.

3. Deskryptywne odpowiedniki twierdzenia Ramseya.

4. Zbiory koanalityczne.

5. Twierdzenia o uniformizacji.

6. Elementy deskryptywnej teorii grafów (jeśli czas pozwoli).

1. A. S. Kechris, Classical descriptive set theory, Graduate Texts in Math.

156, Springer-Verlag, 1995.

2. S. M. Srivastava, A course on Borel sets, Graduate Texts in Math. 180,

Springer-Verlag, 1998.

3. A. W. Miller, Infinite Ramsey theory, lecture notes for Math 873, 1996,

http://www.math.wisc.edu/~miller/old/m873-00/ramsey.pdf.

4. Ch. Rosendal, The dichotomy Theorems, lecture notes for

Math 511, 2012, http://homepages.math.uic.edu/~rosendal/WebpagesMathCourses/MATH511-2012.html.

5. A. Tserunyan, Introduction to descriptive set theory, lecture notes,

2022, https://www.math.mcgill.ca/atserunyan/Teaching_notes/dst_lectures.pdf.

Student:

1. zna podstawy deskryptywnej teorii mnogości, w tym klasyczne przykłady przestrzeni polskich, definicje zbiorów borelowskich i analitycznych oraz zbiorów z własnością Baire'a i pierwszej kategorii,

2. potrafi opisać podstawowe własności zbiorów analitycznych,

3. zna deskryptywne odpowiedniki twierdzenia Ramseya,

4. posługuje się pojęciem uniformizacji i zna podstawowe twierdzenia o istnieniu borelowskiej uniformizacji.