Uniwersytet Warszawski, Wydział Nauk Ekonomicznych - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Aksjomatyczna teoria mnogości

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1S22ATM
Kod Erasmus / ISCED: 11.1 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Matematyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu: Aksjomatyczna teoria mnogości
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Seminaria monograficzne dla matematyki 2 stopnia
Punkty ECTS i inne: (brak) Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.

zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Kierunek podstawowy MISMaP:

matematyka

Rodzaj przedmiotu:

monograficzne
seminaria monograficzne

Założenia (opisowo):

Do udziału w seminarium mocno wskazane jest wcześniejsze zaliczenie przedmiotów fakultatywnych Teoria Mnogości i Logika Matematyczna lub przedmiotów o zbliżonym programie.

Tryb prowadzenia:

w sali

Skrócony opis:

Celem seminarium jest przedstawienie teorii mnogości jako aksjomatycznej podstawy całej matematyki, a zarazem przedmiotu badań logicznych. Planujemy omawiać standardową teorię mnogości Zermelo-Fraenkla z aksjomatem wyboru ZFC, jej podteorie oraz dodatkowe aksjomaty.

Pełny opis:

Głównym celem seminarium będzie zaprezentowanie teorii mnogości jako teorii formalnej, stanowiącej z jednej strony aksjomatyczną podstawę całej matematyki, a z drugiej strony przedmiot badań logicznych dotyczących niesprzeczności jej fragmentów i rozszerzeń. Zależy nam zarówno na zrozumieniu roli standardowych aksjomatów w rozumowaniach matematycznych, jak i na przyjrzeniu się konsekwencjom dodatkowych aksjomatów.

Wątkiem pobocznym będą twierdzenia i dowody z kombinatoryki nieskończonej stanowiące uzupełnienie wykładu fakultatywnego Teoria Mnogości.

Program minimum zakłada omówienie następujących zagadnień:

• Aksjomaty teorii mnogości Zermelo-Fraenkla ZFC, zależności między nimi, modele dla (fragmentów) teorii mnogości, absolutność, tw. Goedla dla teorii ZFC i pokrewnych.

• Hierarchie kumulatywne, zasada refleksji, klasa zbiorów ufundowanych WF, niezależność aksjomatu ufundowania od pozostałych aksjomatów.

• Uniwersum konstruowalne L, aksjomat konstruowalności V=L, relatywna niesprzeczność Aksjomatu Wyboru AC i Uogólnionej Hipotezy Continuum GCH z ZF.

• Aksjomat wyboru AC i jego słabsze wersje, matematyka bez AC, modele permutacyjne, niezależność AC od teorii mnogości bez aksjomatu ufundowania, paradoks Banacha-Tarskiego.

• Wielkie liczby kardynalne, zależności między nimi, liczby mierzalne a elementarne włożenia, nieistnienie liczb mierzalnych w L.

• Bardziej zaawansowane elementy kombinatoryki nieskończonej, np. tw. Silvera, prosta i drzewo Suslina, zasada diamond i zasady pokrewne, ich prawdziwość w L i ich konsekwencje.

Ponadto przewidujemy omówienie niektórych z poniższych tematów, w zależności od czasu i zainteresowań uczestników:

• Konsekwencje V=L lub aksjomatów wielkoliczbowych dla deskryptywnej teorii mnogości.

• Dodatkowe aksjomaty w teorii mnogości (np. Hipoteza Continuum CH, Aksjomat Martina MA, Aksjomat Własności Pokryciowej CPA, Aksjomat Otwartego Kolorowania OCA, Aksjomat Determinacji Rzutowej PD) i przykłady ich konsekwencji w topologii, teorii miary i analizie rzeczywistej.

• Twierdzenie Shoenfielda o absolutności.

Efekty uczenia się:

Student po ukończeniu przedmiotu:

• Zna aksjomaty teorii mnogości Zermelo-Fraenkla ZFC i rozumie ich rolę przy przyjęciu tej teorii jako podstawy dla współczesnej matematyki.

• Rozumie rolę poszczególnych aksjomatów w tej teorii, w szczególności orientuje się w sile i możliwościach różnych podteorii (np. teorii mnogości bez aksjomatu wyboru lub aksjomatu ufundowania).

• Rozumie ogólną zasadę dowodów relatywnej niesprzeczności w odniesieniu do podteorii i rozszerzeń teorii mnogości, tzn. wie jakimi technikami można udowodnić, że do niesprzecznej teorii można dołączyć dodatkowy aksjomat z zachowaniem niesprzeczności.

• Zna dowód relatywnej niesprzeczności uogólnionej Hipotezy Continuum (GCH) i Aksjomatu Wyboru z pozostałymi aksjomatami teorii mnogości.

• Zna niektóre popularne dodatkowe aksjomaty teorii mnogości wraz z ich przykładowymi konsekwencjami.

Przedmiot nie jest oferowany w żadnym z aktualnych cykli dydaktycznych.
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski, Wydział Nauk Ekonomicznych.
ul. Długa 44/50
00-241 Warszawa
tel: +48 22 55 49 126 https://www.wne.uw.edu.pl/
kontakt deklaracja dostępności USOSweb 7.0.3.0 (2024-03-22)