Algebra liniowa

obowiązkowe

Celem kursu jest prezentacja podstawowych zagadnień i metod algebry liniowej.

Obejmują one: układy równań liniowych i sposoby ich rozwiązywania, przestrzenie liniowe, a w nich liniową niezależność układów wektorów , bazy i wymiar przestrzeni, przekształcenia liniowe i ich reprezentacje macierzami , rząd macierzy, wyznacznik macierzy, wektory własne i wartości własne , diagonalizację macierzy i jej zastosowania, iloczyn skalarny i formy kwadratowe. Ponadto przedstawiamy zastosowanie algebry liniowej do programowania liniowego.

Zamiarem kursu jest nie tylko opanowanie technik algebry liniowej, lecz także rozwój zdolności studentów do logicznego rozumowania, jak również przygotowanie do zastosowańalgebry liniowej w ekonomii.

Zajęcia realizowane w ramach projektu „Zintegrowany Program Rozwoju Dydaktyki ZIP 2.0”, współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Fundusze Europejskie dla Rozwoju Społecznego 2021 2027 (FERS) (nr umowy: FERS.01.05 IP.08 0365/23 00).

1. Układy równań liniowych: rozwiązania szczególne i rozwiązanie ogólne, rozwiązywanie metodą eliminacji Gaussa.

2. Przestrzenie liniowe (czyli wektorowe): przykłady, podprzestrzenie, kombinacja liniowa wektorów, niezależność liniowa układu wektorów, baza i wymiar przestrzeni liniowej, współrzędne wektora w bazie.

3.Przekształcenia liniowe: przykłady, macierz przekształcenia liniowego w bazach. Działania na przekształceniach i macierzach, algebra macierzy.

4.Wyznaczniki: własności i metody obliczania.

5. Macierz odwrotna i transponowana, ich obliczanie.

6. Rząd macierzy: jego związki z operacjami elementarnymi i

wyznacznikiem.

7. Zastosowanie rzędu macierzy i wyznacznika do rozwiązywania układów równań liniowych. Twierdzenia Kroneckera-Capelliego i Cramera.

8. Wartości własne i wektory własne przekształcenia. Wielomian charakterystyczny macierzy. Znajdowanie wartości własnych i przestrzeni własnych przekształcenia linowego. Macierze diagonalne i dagonalizowalne. Ślad macierzy i jego własności.

9. Zastosowania diagonalizacji macierzy .

10. Podprzestrzenie afiniczne czyli warstwy przestrzeni liniowej. Przekształcenia afiniczne.

11. Standardowy iloczyn skalarny : norma wektora, układy ortogonalne wektorów, bazy ortogonalne i ortonormalne, procedura Grama-Schmidta. Rzuty i symetrie prostopadłe.

12. Formy kwadratowe: przykłady, macierz formy. Kryterium Sylvestera dodatniej określoności formy. Zastosowanie wartości własnych do określoności i półokreśloności form.

13. Podstawy programowania liniowego. Metoda sympleks.

Szacunkowy nakład pracy studenta: 6ECTS x 25h = 150h

(K) - godziny kontaktowe (S) - godziny pracy samodzielnej

zajęcia: 60h (K) 0h (S)

egzamin: 4h (K) 0h (S)

konsultacje: 15h (K) 0h (S)

przygotowanie do zajęć: 0h (K) 26h (S)

przygotowanie do kolokwiów: 0h (K) 20h (S)

przygotowanie do egzaminu: 0h (K) 25h (S)

Razem: 79h (K) + 71h (S) = 150h

Wykłady z Algebry Liniowej I. Tadeusz Koźniewski, MIMUW 2008.

Algebra liniowa w zadaniach. Jerzy Rutkowski. PWN 2008.

Matematyka dla studentów ekonomii. Ryszard Antoniewicz, Andrzej Misztal. PWN 2009.

Algebra dla studentów. Julian Klukowski, Ireneusz Nabiałek. WNT 1999.

Elementy algebry liniowej. Grzegorz Banaszak, Wojciech Gajda. WNT 2002

Po ukończeniu przedmiotu, student:

W ZAKRESIE WIEDZY:

zna i rozumie pojęcia przestrzeni liniowej, przekształcenia liniowego, liniowo niezależnych układów wektorów i baz przestrzeni, a także baz i układów ortogonalnych

zna i rozumie pojęcia wektora własnego i wartości własnej, formy kwadratowej dodatnio i ujemnie określonej

zna i rozumie pojęcia zbioru rozwiązań dopuszczalnych problemu programowania liniowego i rozwiązania optymalnego

W ZAKRESIE UMIEJĘTNOŚCI:

potrafi wyznaczyć bazę przestrzeni liniowej opisanej różnymi

sposobami, umie zortogonalizować tę bazę, a także podać macierz przekształcenia w określonych bazach

potrafi znaleźć wartości własne endomorfizmu przestrzeni liniowej i wyznaczyć bazy odpowiednich przestrzeni własnych, a także rozstrzygnąć czy macierz jest diagonalizowalna i zdiagonalizować macierz diagonalizowalną. Rozstrzyga czy zadana forma kwadratowa jest ujemnie lub dodatnio określona

potrafi rozwiązać metodą sympleks problem programowania liniowego

W ZAKRESIE KOMPETENCJI:

wykazuje odpowiedzialność i samokontrolę poprzez doświadczenie uczenia się w warunkach wyboru sposobu nabywania wiedzy

jest gotów do systematycznej pracy , którą sobie organizuje.

Ocena końcowa jest określana na podstawie sumy wyniku punktowego uzyskanego w grupach konwersatoryjnych, obejmującego punkty ze sprawdzianów, prac domowych i aktywności na zajęciach (łącznie 30 punktów) oraz wyniku egzaminu końcowego, na którym można uzyskać 70 punktów.

Skala ocen:

[0%-50%) - ndst.

[50%-60%)- dst.

[60%-70%) - dst+

[70%-78%) - db

[78%- 85%) - db+

[85%-93%) - bdb

[93%-100%] - bdb!