Analiza matematyczna II

obowiązkowe

Zajęcia obejmują uzupełnienie materiału dotyczącego rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej, jak również poznanie metod analizy wielowymiarowej, w szczególności teorii różniczkowalności funkcji wielu zmiennych, wielowymiarowych metod optymalizacyjnych, całek wielokrotnych z zastosowaniami. Kluczowymi pojęciami i metodami poznanymi na kursie są: pojęcia pochodnej kierunkowej, gradientu, różniczki funkcji wielu zmiennych o wartościach w przestrzeni euklidesowej, rozwijanie funkcji wielu zmiennych w szeregi Taylora, teoria wypukłości i jej zastosowania do problemów optymalizacyjnych, metoda mnożników Lagrange’a znajdowania ekstremów warunkowych, metody wyznaczania przestrzeni stycznych i normalnych do rozmaitości, pojęcie całki Riemanna wraz z jej geometrycznymi i ekonomicznymi zastosowaniami, całki wielokrotne, w tym twierdzenie o zamianie zmiennych. Nacisk położony jest głównie na przedstawienie zastosowań metod optymalizacyjnych (wypukłość, punkty krytyczne, ekstrema

Zajęcia obejmują uzupełnienie wiedzy zdobytej podczas pierwszego kursu analizy matematycznej, jak również - w swojej głównej części - poznanie teorii różniczkowalności funkcji wielu zmiennych, związanych z nią metod optymalizacyjnych, teorii rozmaitości wielowymiarowych oraz całek wielokrotnych z uwzględnieniem szeregu zastosowań w kontekście ekonomicznym.

Podczas początkowej części kursu uzupełnione zostaną informacje dotyczące rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej - omówione zostaną pochodne wyższych rzędów, pojęcie wielomianu Taylora, wzór Taylora z resztą w postaci Peana i Lagrange’a wraz z konkretnymi zastosowaniami do rozwijania funkcji w szeregi potęgowe. Podane zostanie ogólne twierdzenie charakteryzujące ekstrema lokalne oraz punkty przegięcia funkcji n-krotnie różniczkowalnych, przykłady badania przebiegu zmienności funkcji, w szczególności charakteryzacja wypukłości/wklęsłości funkcji dwukrotnie różniczkowalnej. W zakresie teorii wypukłości omówione zostaną twierdzenia o lokalnej lipschitzowskości, monotoniczności ilorazów różnicowych, istnieniu pochodnych jednostronnych, a także nierówności Jensena zilustrowanej przykładami zastosowań mających interpretacje ekonomiczne, np. do analizy funkcji użyteczności i jej awersji do ryzyka.

Główna, najdłuższa część kursu poświęcona będzie rozwinięciu teorii różniczkowania funkcji wielu zmiennych o wartościach w przestrzeni euklidesowej. Jako przygotowanie do tej teorii omówione zostaną najważniejsze fakty dotyczące struktury przestrzeni euklidesowych, i ogólniej - przestrzeni unormowanych, w tym: własności normy, iloczynu skalarnego, zbieżności ciągów o wyrazach z przestrzeni euklidesowej, granic funkcji określonych na podzbiorach przestrzeni euklidesowej.

W zakresie rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych omówione zostaną najpierw pojęcia pochodnej kierunkowej, pochodnej cząstkowej, gradientu oraz różniczki Frécheta, które zostaną zilustrowane przykładami i interpretacjami geometrycznymi, w tym twierdzeniem o gradiencie wyznaczającym kierunek najszybszego wzrostu funkcji. Wśród najważniejszych faktów dotyczących różniczkowalności omówione zostaną: twierdzenie o przyrostach, warunki konieczne na różniczkowalność, warunek istnienia i ciągłości pochodnych cząstkowych jako warunek wystarczający, twierdzenia o różniczce złożenia i odwzorowania odwrotnego, pojęcie macierzy Jacobiego i macierzy Hessego z wieloma przykładami, w tym dla biegunowej i sferycznej zamiany zmiennych, pojęcie różniczki wyższych rzędów i wzór Taylora.

W kolejnej części kursu omówione zostanie twierdzenie Fermata, punkty krytyczne i metoda wyznaczania ekstremów globalnych funkcji określonych najpierw na podzbiorach zwartych, a następnie na ogólniejszych podzbiorach przestrzeni euklidesowej. Następnie przedstawione zostanie kryterium Sylvestera pozwalające rozstrzygać określoność formy kwadratowej wyznaczonej przez macierz Hessego, a także jego zastosowanie do znajdowania ekstremów lokalnych i punktów siodłowych funkcji wielu zmiennych.

W kolejnej części kursu omówione zostaną: pojęcie dyfeomorfizmu, twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmie, rozmaitości, wyznaczanie przestrzeni stycznych i normalnych, a także twierdzenie o funkcji uwikłanej z przykładami zastosowań do badania funkcji zadanych implicite. Następnie omówione będzie twierdzenie Lagrange’a o ekstremach warunkowych; metoda mnożników Lagrange’a zostanie zilustrowana na wielu praktycznych przykładach. Informacyjnie podane zostanie również twierdzenie Kuhna-Tuckera, które będzie zilustrowane przykładami natury ekonomicznej, gdzie należy wyznaczyć ekstremum danej funkcji przy warunkach zadanych w postaci nierówności.

Kolejna część poświęcona będzie omówieniu geometrycznych interpretacji i zastosowań całki Riemanna, w tym zastosowań do obliczania długości krzywych oraz pól powierzchni i objętości brył obrotowych. Ostatnim zagadnieniem będą całki podwójne i potrójne po obszarach normalnych, metody ich obliczania, w tym twierdzenie o zamianie zmiennych.

Szacunkowy nakład pracy studenta: 6ECTS x25h = 150h

(K) godziny kontaktowe (S) – godziny pracy samodzielnej

Konwersatorium (zajęcia): 60h (K) 0h (S)

Konsultacje: 14,5h (K) 0h (S)

Kolokwia: 3h (K) 0h (S)

Egzamin: 2,5h (K) 0h (S)

Przygotowanie do kolokwiów: 0h (K) 8h (S)

Przygotowanie do egzaminu: 0h (K) 12h (S)

Przygotowanie do konwersatoriów 0h (K) 30h (S)

Praca z dodatkowymi materiałami umieszczonymi na platformie Moodle: 0h (K) 20h (S)

Literatura podstawowa:

M. Krych Analiza matematyczna dla ekonomistów, Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, 2009

Literatura uzupełniająca:

R. Antoniewicz, A. Misztal, Matematyka dla studentów ekonomii. Wykłady z ćwiczeniami, WN PWN, Warszawa 2009.

J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa 2006.

T. Bażańska, I. Karwacka, M. Nykowska, Zadania z matematyki, podręcznik dla studiów ekonomicznych, PWN, Warszawa 1980.

Alpha C. Chiang, Podstawy ekonomii matematycznej, Państwowe Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa 1994.

W. Dubnicki, J. Kłopotowski, T. Szapiro, Analiza Matematyczna. Podręcznik dla ekonomistów, WN PWN, Warszawa 2010.

W. J. Kaczor, M. T. Nowak, Zadania za analizy matematycznej, część 1, 2 i 3, WN PWN, Warszawa 2005.

W. Kołodziej, Analiza matematyczna, WN PWN, Warszawa 2009.

W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II, WN PWN, Warszawa 2008.

K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej, WN PWN, Warszawa 2008.

W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, WN PWN, Warszawa 2009.A. Ostoja-Ostaszewski, Matematyka w ekonomii. Modele i metody, t. 1 i 2, PWN, Warszawa 1996.

Efekty uczenia się (kody): K_W04, K_U03, K_K01

Po ukończeniu przedmiotu, student:

WIEDZA

● Zna wzór Taylora dla funkcji jednej i wielu zmiennych.

● Zna pojęcie funkcji wypukłej/wklęsłej i ich najważniejsze własności.

● Zna najważniejsze własności przestrzeni unormowanych, pojęcie iloczynu skalarnego, pojęcie ciągłości i granicy funkcji określonych na podzbiorach przestrzeni euklidesowej.

● Zna pojęcia pochodnej kierunkowej, gradientu, macierzy Jacobiego, macierzy Hessego oraz różniczki Frécheta funkcji wielu zmiennych, a także związki między nimi oraz warunki konieczne i wystarczające na różniczkowalność.

● Zna warunki charakteryzujące ekstrema lokalne i punkty przegięcia funkcji jednej zmiennej oraz ekstrema lokalne i punkty siodłowe funkcji wielu zmiennych, w tym kryterium Sylvestera.

● Zna twierdzenia o różniczkowaniu odwzorowania złożonego i odwrotnego; zna pojęcie dyfeomorfizmu oraz twierdzenie o lokalnej odwracalności.

● Zna pojęcie rozmaitości, przestrzeni stycznej i normalnej do rozmaitości i metody ich wyznaczania.

● Zna twierdzenie o funkcji uwikłanej.

● Zna metodę mnożników Lagrange’a wyznaczania ekstremów warunkowych.

● Zna pojęcie całki Riemanna i jej interpretacje oraz zastosowania geometryczne; zna metody obliczania całek wielokrotnych po obszarach normalnych w przestrzeni euklidesowej, w tym twierdzenie o zamianie zmiennych.

UMIEJĘTNOŚCI

● Potrafi przeprowadzić badanie przebiegu zmienności funkcji jednej zmiennej, w tym zbadać jej wypukłość/wklęsłość i podać rozwinięcie w szereg Taylora.

● Potrafi zastosować nierówność Jensena do wyprowadzania oszacowań i nierówności; odnajduje funkcje wypukłe/wklęsłe w zagadnieniach optymalizacyjnych.

● Potrafi obliczać granicę ciągów o wyrazach w przestrzeni euklidesowej, iloczyn skalarny i normy wektorów, badać istnienie i obliczać granice funkcji wielu zmiennych określonych na podzbiorach przestrzeni euklidesowej.

● Potrafi obliczać pochodną kierunkową, cząstkową; rozumie interpretację geometryczną gradientu funkcji skalarnej.

● Potrafi wyznaczać ekstrema globalne funkcji wielu zmiennych z użyciem twierdzenia Fermata.

● Potrafi badać różniczkowalność funkcji wielu zmiennych, wyznaczać macierz Jacobiego i Hessego, stosować regułę łańcuchową, twierdzenie o różniczce złożenia i twierdzenie o różniczce odwzorowania odwrotnego.

● Potrafi zastosować kryterium Sylvestera i klasyfikować punkty krytycznej funkcji wielu zmiennych zmiennej.

● Potrafi wyznaczać przestrzenie styczne i normalne do rozmaitości zanurzonych w przestrzeni euklidesowej.

● Potrafi zastosować twierdzenie o funkcji uwikłanej do zbadania własności funkcji zadanych implicite.

● Potrafi modelować zagadnienia optymalizacyjne sprowadzając je do zadania wyznaczenia ekstremum warunkowego. Umie zastosować metodę mnożników Lagrange’a do rozwiązania zadania optymalizacyjnego.

● Oblicza całki wielokrotne po obszarach normalnych; potrafi zastosować twierdzenie o zamianie zmiennych, w szczególności z użyciem podstawienia biegunowego i sferycznego.

KOMPETENCJE

• wykazuje samodzielność w zakresie stosowania wiedzy 
teoretycznej z analizy matematycznej do rozwiązywania problemów optymalizacyjnych; 


• wykazuje odpowiedzialność i samokontrolę poprzez 
doświadczenie uczenia się w warunkach wyboru w 
zakresie sposobów nabywania wiedzy; 


• jest systematyczny dzięki organizacji potrzebie dostosowania się do trybu zaliczenia, w którym na końcowy wynik składają się wyniki z kartkówek, kolokwiów, aktywności oraz egzaminu końcowego; 


• jest rzetelny i uczciwy poprzez konieczność rygorystycznego przestrzegania wymagań zaliczeniowych i egzaminacyjnych.

Uzyskanie zaliczenia przedmiotu wymaga:

1. Obecności na konwersatorium (dopuszczalne są dwie nieobecności)

2. Ocena końcowa z przedmiotu obliczana jest na podstawie sumy punktów uzyskanych w ciągu semestru (max. 80p). Punkty można uzyskać na konwersatorium (max. 20p), na dwóch wspólnych kolokwiach w trakcie semestru (max. 15+15=30p) i na egzaminie po zakończeniu semestru (max. 30p). Pozytywną ocenę końcową z przedmiotu mogą otrzymać tylko osoby, które uzyskały w sumie co najmniej 40 punktów. Domyślne progi dla ocen końcowych: dst = 40p, dst+ = 47p, db = 55p, db+ = 62p, bdb = 70p, cel= 75p.

3. Punkty z konwersatorium można uzyskać na kartkówkach (6x 2p) przeprowadzanych w poszczególnych grupach oraz za aktywność (max 8p).

4. Aby przystąpić do egzaminu, student musi zaliczyć ćwiczenia, tzn. uzyskać z ćwiczeń ocenę co najmniej dst (20p)

5. Egzamin jest przeprowadzany w dwóch terminach: w sesji egzaminacyjnej głównej i poprawkowej. Egzamin w trybie stacjonarnym jest pisemny i polega na rozwiązaniu pewnej liczby zadań z całości materiału przewidzianego dla przedmiotu.

6. W przypadku usprawiedliwionej nieobecności na sprawdzianie (odpowiednio kartkówce, kolokwium lub egzaminie) spowodowanej ważnymi okolicznościami student ma prawo zaliczenia tego sprawdzianu w dodatkowym terminie. W tym celu student powinien złożyć wniosek o usprawiedliwienie:

w przypadku kartkówki lub kolokwium – do prowadzącego konwersatorium, w przypadku egzaminu do Dziekana WNE). W przypadku niezłożenia takiego wniosku, student traci prawo do zaliczenia tego sprawdzianu w dodatkowym terminie. Wg Szczegółowych Zasad Studiowania na WNE, wniosek o usprawiedliwienie wraz z odpowiednią dokumentacją należy złożyć nie później niż 7 dni od daty egzaminu lub 7 dni od ustania przyczyn, które powodowały nieobecność. Dodatkowe terminy zaliczenia kartkówek i kolokwiów są ustalane i przeprowadzane przez prowadzących ćwiczenia. Dodatkowy termin egzaminu przypada w następnej sesji egzaminacyjnej lub jest ustalany przez Dziekana WNE.

7. Wszystkie powyższe zasady dotyczą również studentów WNE wyższych lat z zaliczeniem warunkowym.

8. Dla studentów I roku MSEM, którzy chcą przenieść się na WNE w trakcie semestru, nie ma możliwości przeliczenia punktów i ocen uzyskanych podczas kolokwiów i sprawdzianów na wydziale MIM na punkty za ćwiczenia i kolokwia na WNE.