Matematyka obliczeniowa (potok 1)
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-114bMOBa |
Kod Erasmus / ISCED: |
11.102
|
Nazwa przedmiotu: | Matematyka obliczeniowa (potok 1) |
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
Grupy: |
Przedmioty obieralne dla II-III roku bioinformatyki Przedmioty obowiązkowe dla II roku matematyki Przedmioty obowiązkowe dla II roku matematyki specjalności MSEM |
Punkty ECTS i inne: |
7.50
|
Język prowadzenia: | polski |
Rodzaj przedmiotu: | obowiązkowe |
Założenia (opisowo): | Oczekuje się dobrej znajomości zagadnień ujętych w sylabusie przedmiotu Wstęp do Informatyki I. |
Skrócony opis: |
Wykład zawiera: elementy rachunku błedu zaaokrągleń, interpolacje wielomianową i splajnową, elementy aproksymacji, kwadratury złożone i kwadratury Gaussa, numeryczne metody rozwiązywania układów równań liniowych, rozwiązywanie równań nieliniowych, numeryczne zadanie własne (opcja). Przedmiot ma też wersję "gwiazdkową", 1000-114bMOB*. |
Pełny opis: |
Równania nieliniowe skalarne. Metody: bisekcji, stycznych, siecznych i ich rząd zbieżności. Kryteria stopu. Inne metody. (1--2 wykłady) Arytmetyka zmiennopozycyjna. Kryteria oceny zadań numerycznych (uwarunkowanie) oraz algorytmów numerycznych (błąd, złożoność, stabilność, poprawność). (1--2 wykłady) Układy równań liniowych. Rozkład LU metodą eliminacji Gaussa i jego zastosowanie do rozwiązywania układu równań. Numeryczna poprawność eliminacji z wyborem elementu głównego w kolumnie. Rozkłady specjalne: Cholesky'ego-Banachiewicza, macierzy trójdiagonalnej i inne. Zastosowania rozkładów. Normy wektorowe i macierzowe oraz ich własności. Uwarunkowanie zadania Ax=b. Residualne kryterium numerycznej poprawności. Liniowe zadanie najmniejszych kwadratów. Rozkład QR. Metoda Householdera i metoda Givensa wyznaczania rozkładu QR. (4--5 wykładów) Zadanie własne. Metody: potęgowa i odwrotna potęgowa. Iloraz Rayleigh'a. (1 wykład) Interpolacja Lagrange'a i Hermite'a. Algorytm różnic dzielonych. Błąd interpolacji. Wielomiany Czebyszewa. Algorytm Hornera. Funkcje sklejane. (1--2 wykłady) Aproksymacja średniokwadratowa. Istnienie i charakteryzacja elementu najlepszej aproksymacji. Wielomiany ortogonalne i ich zastosowanie do wyznaczania wielomianu optymalnego. Reguła trójczłonowa. Aproksymacja jednostajna wielomianami. Algorytm Remeza. (2--3 wykłady) Kwadratury interpolacyjne. Błąd w przypadku ogólnym i dla kwadratur prostokątów, trapezów i Simpsona. Kwadratury złożone i ich błąd. Kwadratury adaptacyjne. Metoda Romberga. Rząd kwadratury. Kwadratury Gaussa. (2--3 wykłady). Praca z komputerem (w ramach ćwiczeń) |
Literatura: |
|
Efekty uczenia się: |
Wiedza i umiejętności: 1. Zna pojęcie wykładniczego rzędu zbieżności metody rozwiązywani równania liniowego; 2. Zna metody bisekcji, Newtona i siecznych rozwiązywania równania nieliniowego; wie przy jakich założeniach metody są zbieżne; zna metodę Newtona rozwiązywania układu równań nieliniowych; zna twierdzenie o lokalnej zbieżności tej metody 3. Zna podstawowe własności arytmetyki zmiennopozycyjnej w komputerze; wie co to uwarunkowanie zadania ze względu na zaburzenia danych w arytmetyce zmiennopozycyjnej; zna pojęcie numerycznej poprawności i numerycznej stabilności algorytmu 4. Zna algorytm i koszt metod bezpośredniego rozwiązywania układów równań liniowych poprzez rozkład LU, metodę Choleskiego, poprzez rozkład QR uzyskany metodą Householdera. 5. Zna definicje i podstawowe własności norm wektorowych i macierzowych; zna wzory na podstawowe wzory na normy p-te wektorowe i macierzowe; zna pojęcie współczynnika uwarunkowania macierzy i jego związek z błędami zaokrągleń w algorytmach bezpośrednich rozwiązywania układów równań liniowych 6. Zna definicję liniowego zadania najmniejszych kwadratów (LZNK); wie co oznacza, że LZNK jest regularne; zna twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności regularnego LZNK (RLZK); wie jak rozwiązać RLZNK znając rozkład QR macierzy; zna algorytm Householdera znajdowania rozkładu QR macierzy kolumnami regularnej; zna metodę rozwiązywania RLZNK poprzez sprowadzenie go układu liniowego równań normalnych 7. Wie co to numeryczne symetryczne zadanie własne; zna algorytm i jego koszt sprowadzania macierzy symetrycznej do macierzy podobnej trójdiagonalnej przy pomocy przekształceń Householdera 8. Zna metodę potęgową i odwrotną potęgową; wie przy jakich założeniach metody te są zbieżne 9. Wie co to zadanie interpolacji Lagrange; zna twierdzenie o tym kiedy takie zadanie ma jednoznaczne rozwiązanie; zna pojęcie bazy Lagrange'a wielomianów określonego stopnia; zna definicję w własności różnicy dzielonej; zna algorytmy Newtona i różnic dzielonych znajdowania współczynników wielomianu interpolacyjnego Lagrange'a w bazie Newtona; zna wzór na błąd interpolacji Lagrange'a; wie co to optymalne węzły interpolacji; potrafi oszacować błąd interpolacji znając oszacowania odpowiednich pochodnych funkcji 10. Wie co to zadanie interpolacji Hermite'a; zna twierdzenie o tym kiedy takie zadanie ma jednoznaczne rozwiązanie; zna definicję i własności uogólnionej różnicy dzielonej z węzłami wielokrotnymi; zna algorytm różnic dzielonych znajdowania współczynników wielomianu interpolacyjnego Hermite'a w bazie Newtona; zna wzór na błąd interpolacji Hermite'a; 11. Zna definicję przestrzeni splajnów dla ustalonych węzłów; w szczególności wie co to przestrzeń splajnów liniowych i przestrzeń splajnów kubicznych; wie jak znaleźć splajn interpolacyjny liniowy i zna błąd interpolacji splajnami liniowymi; zna zadanie interpolacji splajnami kubicznymi z różnymi warunkami brzegowymi; zna algorytm znajdowania splajnu kubicznego z warunkami brzegowymi naturalnymi; zna wzór na błąd interpolacji splajnami kubicznymi naturalnymi; zna twierdzenie Holladaya. 12. Wie co to są kwadratury; zna definicję rzędu kwadratury; zna definicję kwadratury interpolacyjnej; zna wzór na błąd kwadratury interpolacyjnej; zna wzór na kwadratury złożone trapezów i Simpsona; zna oszacowanie błędu kwadratury trapezów; wie jak skonstruować kwadraturę Gaussa; zna twierdzenie o rzędzie kwadratury Gaussa i o dodatniości jej współczynników; zna twierdzenie o zbieżności kwadratur Gaussa Kompetencje społeczne: 1. Rozumie znaczenie matematyki obliczeniowej jako narzędzia służącego konstrukcji i analizy metod obliczeniowych pozwalających rozwiązywać zadania powstające przy modelowaniu zjawisk przyrody i techniki |
Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2023/24" (zakończony)
Okres: | 2024-02-19 - 2024-06-16 |
Przejdź do planu
PN WT ŚR WYK
CZ PT CW
CW
CW
LAB
LAB
LAB
LAB
LAB
LAB
LAB
CW
CW
CW
CW
|
Typ zajęć: |
Ćwiczenia, 30 godzin
Laboratorium, 15 godzin
Wykład, 30 godzin
|
|
Koordynatorzy: | Przemysław Kiciak | |
Prowadzący grup: | Przemysław Kiciak, Leszek Marcinkowski, Leszek Plaskota, Konrad Sakowski, Paweł Siedlecki | |
Lista studentów: | (nie masz dostępu) | |
Zaliczenie: | Egzamin |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski, Wydział Nauk Ekonomicznych.