Funkcje analityczne

fakultatywne

Oczekuje się dobrej znajomości zagadnień ujętych w sylabusach przedmiotów Analiza matematyczna II.1 oraz Analiza matematyczna II2.

Podstawowe pojęcia analizy zespolonej, ilustracja jej związków z topologią, algebrą i geometrią, w tym: pochodna w dziedzinie zespolonej i konsekwencje różniczkowalności w sensie zespolonym. Równania Cauchy’ego-Riemanna. Wzór całkowy Cauchy’ego, analityczność funkcji holomorficznych. Zasadnicze Twierdzenie Algebry. Klasyfikacja izolowanych punktów osobliwych. Twierdzenie o residuach i jego zastosowania. Twierdzenie Riemanna.

1. Pochodna w dziedzinie zespolonej. Funkcje holomorficzne. Równania Cauchy'ego-Riemanna. Odwzorowania konforemne.

2. Ciągi i szeregi funkcyjne zespolone. Szeregi potęgowe zespolone. Wzór na promień zbieżności. Twierdzenie Abela o ciągłości na brzegu koła zbieżności. Różniczkowanie wyraz po wyrazie. Podstawowe funkcje elementarne w dziedzinie zespolonej: funkcja wykładnicza, funkcje trygonometryczne, gałęzie logarytmu i potęgi zespolonej.

3. Rozszerzony zbiór liczb zespolonych i sfera Riemanna. Funkcje wymierne i grupa homografii.

4. Całka funkcji wzdłuż drogi. Twierdzenie Cauchy'ego i jego podstawowe konsekwencje: wzór całkowy Cauchy'ego, nierówności Cauchy'ego, analityczność funkcji holomorficznych.

5. Zasada identyczności. Twierdzenie Weierstrassa o ciągach funkcji holomorficznych. Twierdzenie Liouville'a i Zasadnicze Twierdzenie Algebry. Twierdzenie Morery.

6. Całki po krzywych homotopijnych. Twierdzenie Cauchy'ego. Istnienie funkcji pierwotnej w obszarze jednospójnym. Gałąź logarytmu. Całki krzywoliniowe. Funkcje harmoniczne i ich związek z funkcjami holomorficznymi. Istnienie funkcji harmonicznej sprzężonej w obszarze jednospójnym.

7. Rozwijanie funkcji holomorficznej w pierścieniu w szereg Laurenta. Twierdzenie Riemanna o osobliwości pozornej. Klasyfikacja izolowanych punktów osobliwych. Twierdzenie Casoratiego-Weierstrassa. Funkcje meromorficzne.

8. Twierdzenie o residuach i jego zastosowania do obliczania całek w dziedzinie rzeczywistej.

9. Indeks punktu względem krzywej. Zasada argumentu. Twierdzenie Rouchégo. Twierdzenie Hurwitza.

10. Twierdzenie o krotnościach i o odwzorowaniu otwartym. Zasada maksimum. Lemat Schwarza. Twierdzenie Riemanna (bez dowodu).

1. J. Chądzyński, Wstęp do analizy zespolonej, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź 2010.

2. A. Ganczar, Analiza zespolona w zadaniach, PWN, Warszawa 2010.

3. J. Krzyż, Zbiór zadań z funkcji analitycznych, PWN, Warszawa 2005.

4. F. Leja, Funkcje zespolone, PWN, Warszawa 2006.

5. W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa 2009.

6. S. Saks, A. Zygmund, Funkcje analityczne, Monografie Matematyczne, tom 28, PWN, Warszawa 1952.

(w postaci plików pdf: http://matwbn.icm.edu.pl/ksspis.php?wyd=10)

7. B. W. Szabat, Wstęp do analizy zespolonej, PWN, Warszawa 1974

1. Zna interpretacje przekształceń homograficznych jako przekształceń sfery Riemanna i potrafi znajdować przekształcenia biholomorficzne koła na pewne standardowe obszary.

2. Zna podstawowe zastosowania twierdzenia Cauchy’ego.

3. Potrafi obliczać całki oznaczone (także niewłaściwe) funkcji rzeczywistych, stosując twierdzenie o residuach.

4. Umie posługiwać się rozwinięciem Laurenta, zna związaną z nim charakteryzację osobliwości i zna pojecie funkcji meromorficznej.

5. Zna i potrafi zastosować twierdzenia Rouchégo i zasadę argumentu.

6. Rozumie znaczenie metod analizy zespolonej dla podstawowych działów matematyki, a także znaczenie pojęć topologicznych (indeksu pętli, jednospójności, homotopii dróg) dla uzyskiwania wyników analitycznych o charakterze ilościowym.

na podstawie punktów uzyskiwanych przez studenta w czasie semestru

oraz wyniku egzaminu