Uniwersytet Warszawski, Wydział Nauk Ekonomicznych - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Elementy analizy rzeczywistej

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-135EAR
Kod Erasmus / ISCED: 11.1 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Matematyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu: Elementy analizy rzeczywistej
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty fakultatywne dla studiów 1 stopnia na matematyce
Punkty ECTS i inne: 6.00 Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.

zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Kierunek podstawowy MISMaP:

matematyka

Rodzaj przedmiotu:

fakultatywne

Wymagania (lista przedmiotów):

Analiza matematyczna I.1 (potok I) 1000-111bAM1a
Analiza matematyczna I.2 (potok I) 1000-112bAM2a
Analiza matematyczna II.1 (potok 1) 1000-113bAM3a
Analiza matematyczna II.2 (potok 1) 1000-114bAM4a

Założenia (opisowo):

Zakładamy że student zna pełen kurs analizy: Analizę Matematyczną I.1, I.2, II.1 i II.2, mile widziany kurs analizy funkcjonalnej lecz nie jest to wymagane.

Tryb prowadzenia:

mieszany: w sali i zdalnie
w sali
zdalnie

Skrócony opis:

Splot funkcji i jego zastosowania do aproksymacji. Szeregi Fouriera i badanie ich zbieżności. Przestrzeń Schwartza i transformata Fouriera. Funkcja maksymalna Hardy’ego-Littlewooda. Funkcje monotoniczne, o wahaniu ograniczonym i absolutnie ciągłe. Funkcje lipszycowskie: ich rozszerzenia i własności aproksymacyjne. Przykłady powiązań pomiędzy teorią równań cząstkowych, teorią aproksymacji, analizą harmoniczną i zespoloną oraz teorią interpolacji.

Pełny opis:

1. Sploty, przestrzenie L^p Lebesgue'a i nierówność Younga. Własności regularyzacyjne splotu, zastosowanie do przybliżania funkcjami gładkimi.

2. Szeregi Fouriera: definicja, kryteria zbieżności punktowej (Diniego, Lipschitza, Dirichleta). Zbieżność w L^2 i twierdzenie Plancherela. Zastosowania w równaniach różniczkowych.

3. Przestrzeń Schwartza S, transformata Fouriera na S, L^1 i L^2. Przykłady zastosowań w równaniach różniczkowych.

4. Funkcja maksymalna Hardy'ego-Littlewooda i twierdzenie Lebesgue'a o różniczkowaniu.

5. Różniczkowalność funkcji monotonicznych jednej zmiennej, funkcje o wahaniu ograniczonym i funkcje absolutnie ciągłe.

6. Funkcje lipszycowskie: twierdzenie Kirszbrauna i twierdzenie Rademachera. Twierdzenie Stiepanowa.

7. Elementy teorii interpolacji. Przykłady związków z analizą zespoloną, harmoniczną oraz funkcjonalną.

Literatura:

1. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom 3, PWN, Warszawa 2007.

2. L. Grafakos, Classical Fourier analysis. Third edition, Graduate Texts in Mathematics, 249, Springer, New York 2014.

3. T. W. Körner, Fourier analysis. Second edition, Cambridge University Press, Cambridge 1989.

4. S. Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, PWN, Warszawa 1973.

5. H. Royden, P. Fitzpatrick, Real analysis. Third edition, Macmillan Publishing Company, New York 1988.

6. W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa 2009.

7. E. M. Stein, R. Shakarchi, Fourier analysis: An introduction, Princeton University Press, Princeton 2003.

8. E. M. Stein, R. Shakarchi, Real analysis: Measure theory, integration, and Hilbert spaces, Princeton University Press,

Princeton 2005.

Efekty uczenia się:

Student:

1. Zna podstawowe własności przestrzeni L^p i ilustruje je na przykładach. Potrafi opisać związki między tymi przestrzeniami a przestrzenią funkcji ciągłych. Operuje pojęciem splotu i zna jego kluczowe własności.

2. Potrafi rozwijać funkcje w szereg Fouriera, umie badać zbieżność punktową oraz zbieżność w L^2 takiego szeregu. Zna przykłady zastosowań szeregów Fouriera oraz rozumie ich znaczenie w równaniach różniczkowych.

3. Dysponuje wiedzą dotyczącą podstawowych własności transformaty Fouriera na klasie Schwarza S oraz przestrzeniach L^1, L^2. Podaje zastosowania tego narzędzia, m.in. do rozwiązywania równań różniczkowych.

4. Zna twierdzenie Lebesgue'a o różniczkowaniu i podstawowe lematy pokryciowe. Potrafi wskazać podstawowe własności operatora maksymalnego Hardy'ego-Littlewooda (np. ograniczoność w różnych przestrzeniach funkcyjnych) i ilustruje je na przykładach.

5. Umie wykazać różniczkowalność funkcji monotonicznej jednej zmiennej. Potrafi badać własności funkcji o wahaniu ograniczonym oraz funkcji absolutnie ciągłych i podać ich przykłady.

6. Zna podstawowe własności funkcji lipszycowskich. Potrafi badać zagadnienia związane z różniczkowalnością oraz rozszerzalnością dziedziny takich obiektów, podając stosowne przykłady i kontrprzykłady.

7. Rozumie znaczenie struktur i metod analizy jako narzędzi służących do badania złożonych modeli matematycznych.

8. Potrafi podać przykładowe powiązania pomiędzy różnymi działami analizy.

Metody i kryteria oceniania:

Ocena z przedmiotu będzie wystawiona na podstawie oceny z ćwiczeń oraz egzaminu.

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2023/24" (w trakcie)

Okres: 2024-02-19 - 2024-06-16
Wybrany podział planu:
Przejdź do planu
Typ zajęć:
Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Przemysław Ohrysko
Prowadzący grup: Przemysław Ohrysko
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski, Wydział Nauk Ekonomicznych.
ul. Długa 44/50
00-241 Warszawa
tel: +48 22 55 49 126 https://www.wne.uw.edu.pl/
kontakt deklaracja dostępności USOSweb 7.0.3.0 (2024-03-22)