Uniwersytet Warszawski, Wydział Nauk Ekonomicznych - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Wstęp do układów dynamicznych

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-135WUD
Kod Erasmus / ISCED: (brak danych) / (brak danych)
Nazwa przedmiotu: Wstęp do układów dynamicznych
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty fakultatywne dla studiów 1 stopnia na matematyce
Punkty ECTS i inne: 6.00 Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.

zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Rodzaj przedmiotu:

fakultatywne

Skrócony opis:

Wykład stanowi wprowadzenie w niektóre zagadnienia teorii układów dynamicznych na podstawie analizy przykładowych modeli. Opisana jest m.in. dynamika przekształceń na odcinku, okręgu, torusie i płaszczyźnie zespolonej.

Pełny opis:

1. Dynamika przekształceń odcinka na przykładzie rodziny kwadratowej – sprzężenie, hiperboliczność, dynamika symboliczna, twierdzenie Szarkowskiego.

2. Homeomorfizmy okręgu – liczba obrotu, twierdzenie Denjoy’a, strukturalna stabilność, własność Morse’a–Smale’a.

3. Dynamika przekształceń torusa – przesunięcia, algebraiczne automorfizmy, rozbicie Markowa.

4. Układy chaotyczne – podkowa Smale’a, przykłady atraktorów, solenoidy, rozmaitości stabilne i niestabilne, hiperboliczność.

5. Miary niezmiennicze, twierdzenie Poincarego o powracaniu, ergodyczność, entropia.

6. Przykłady bilardów – bilard w wielokącie i elipsie.

7. Dynamika holomorficzna – zbiory Julii, zespolona rodzina kwadratowa, zbiór Mandelbrota, zespolona metoda Newtona.

8. Wymiar Hausdorffa i fraktale.

Literatura:

1. A. Boyarsky and P. Góra, Laws of chaos. Invariant measures and dynamical systems in one dimension, Birkhauser, 1997.

2. R. Devaney, An introduction to chaotic dynamical systems, Westview Press, 2003.

3. B. Hasselblatt, A. Katok, A first course in dynamics. With a panorama of recent developments, Cambridge University Press, 2003.

4. M. Pollicott and M. Yuri, Dynamical systems and ergodic theory, Cambridge University Press, 1998l.

5. C. Robinson, Dynamical systems. Stability, symbolic dynamics and chaos, CRC Press, 1998.

6. W. Szlenk, Wstęp do teorii gładkich układów dynamicznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1982.

Efekty uczenia się:

1. Znajomość podstawowych pojęć teorii układów dynamicznych (układ dynamiczny, trajektoria, zbiór graniczny, sprzężenie).

2. Iteracje przekształceń odcinka: znajomość twierdzenia Szarkowskiego, znajomość podstawowych informacji o rodzinie kwadratowej (logistycznej).

3. Dynamika homeomorfizmów okręgu: znajomość pojęcia liczby obrotu i jej własności, znajomość twierdzenia Denjoy’a.

4. Dynamika przekształceń torusa: znajomość podstawowych informacji o algebraicznych automorfizmach torusa.

5. Chaotyczne układy dynamiczne: znajomość twierdzenia Hadamarda-Perrona i definicji rozmaitości stabilnych i niestabilnych, układu hiperbolicznego i atraktora, znajomość pojęcia kodowania dla podkowy Smale’a, umiejętność jakościowego przeanalizowania prostych przykładów gładkich układów dynamicznych.

6. Teoria ergodyczna układów dynamicznych: znajomość definicji miary niezmienniczej i pojęcia ergodyczności, znajomość podstawowych przykładów układów zachowujących miarę, znajomość twierdzenia Poincarego o powracaniu.

7. Dynamika holomorficzna: znajomość pojęcia zbioru Julii i zbioru Mandelbrota, znajomość podstawowych przykładów dynamiki przekształceń holomorficznych.

Metody i kryteria oceniania:

Rozwiązywanie zadań domowych i przedstawianie ich na ćwiczeniach. Egzamin pisemny – kilka zadań dotyczących podstawowych własności i przykładów układów dynamicznych. W razie potrzeby egzamin ustny.

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2023/24" (w trakcie)

Okres: 2024-02-19 - 2024-06-16
Wybrany podział planu:
Przejdź do planu
Typ zajęć:
Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Krzysztof Barański
Prowadzący grup: Krzysztof Barański
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski, Wydział Nauk Ekonomicznych.
ul. Długa 44/50
00-241 Warszawa
tel: +48 22 55 49 126 https://www.wne.uw.edu.pl/
kontakt deklaracja dostępności USOSweb 7.0.3.0 (2024-03-22)