Uniwersytet Warszawski, Wydział Nauk Ekonomicznych - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Analiza harmoniczna

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1M10AH
Kod Erasmus / ISCED: 11.134 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Matematyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu: Analiza harmoniczna
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia
Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka
Punkty ECTS i inne: (brak) Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.

zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

monograficzne

Skrócony opis:

Wykład "Analiza harmoniczna" jest przeznaczony dla studentów zainteresowanych szeroko pojętą analizą. Jego celem jest przekazanie wiedzy na temat klasycznych wyników przemiennej analizy harmonicznej i fourierowskiej. Przedmiot ten stanowi doskonały wstęp do nauki zagadnień bardziej szczegółowych oraz abstrakcyjnych. Wymagana jest znajomość analizy na poziomie pierwszych dwóch lat studiów oraz wiedza wchodząca w zakres funkcji analitycznych i analizy funkcjonalnej I (zaliczanie równoczesne tych wykładów jest wystarczające).

Pełny opis:

Poniższa lista zawiera spis zagadnień, które będą poruszane na wykładzie, lecz dokładny dobór materiału zależał będzie od preferencji oraz przygotowania uczestników.

1. Wprowadzenie historyczne. Algebra funkcji całkowalnych na okręgu.

Współczynniki Fouriera.

2. Lemat Riemanna-Lebesgue'a. Jądra aproksymatywne (Fejera, Poissona)

oraz wnioski o sumowalności średnich Fejera i Poissona w języku

jednorodnych przestrzeni Banacha. Twierdzenia Weierstrassa o

aproksymacji wielomianami trygonometrycznymi.

3. Zagadnienie zbieżności średnich Fejera i Poissona prawie wszędzie

(twierdzenia Fejera, Lebesgue'a i Fatou).

4. Rząd zbieżności współczynników Fouriera w zależności od własności funkcji.

5. Szeregi Fouriera funkcji całkowalnych z kwadratem (twierdzenia

Riesza-Fischera, Parsevala, Plancherela).

6. Algebra absolutnie zbieżnych szeregów Fouriera.

7. Zbieżność punktowa szeregów Fouriera (kryteria Lipschitza, Diniego

i podobne)

8. Wyniki negatywne - przykład Kołmogorowa, istnienie funkcji ciągłych

o tu i ówdzie rozbieżnym szeregu Fouriera.

9. Przestrzenie Hardy'ego. Funkcja sprzężona.

10. Twierdzenia Kołmogorowa (o słabym typie) i Zygmunda. Transformata

Riesza i Hilberta oraz wniosek o zbieżności szeregów Fouriera w Lp dla

p>1.

11. Nierówność Hilberta, twierdzenie Hardy'ego-Littlewooda,

twierdzenie Braci Rieszów (o miarach analitycznych).

12. Teoria Calderona-Zygmunda.

13. Wstęp do operatorów mnożnikowych. Twierdzenie Hormandera-Michlina.

14. Twierdzenie McGehee-Pigno-Smith + Konyagin (rozwiązanie hipotezy

Littlewooda).

15. Podstawowe informacje o współczynnikach Fouriera-Stieltjesa miary.

Ciągi dodatnio określone. Twierdzenie Herglotza.

16. Miary idempotentne i twierdzenie Helsona.

Literatura:

- W. Rudin, Fourier Analysis on Groups

- A. Zygmund, Trigonometric Series

- C.C. Graham, O. C. McGehee, Essays in Commutative Harmonic Analysis

- E. M. Stein and G. Weiss, Introduction to Fourier Analysis in Euclidean Spaces

- Y. Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis

- R. E. Edwards, Fourier Series, a Modern Introduction

- E. Hewitt and K. A. Ross, Abstract Harmonic Analysis

- E. M. Stein and R. Shakarchi, Fourier Analysis, an Introduction

- H. Helson, Harmonic Analysis

- T. W. Korner, Fourier Analysis

- A. Torchinsky, Real Variable Methods in Harmonic Analysis

Efekty uczenia się:

Student po odbyciu kursu "analiza harmoniczna":

1. Zna i rozumie podstawowe pojęcia teorii szeregów Fouriera.

2. Potrafi zastosować wiedzę o rozwinięciach w szeregi Fouriera do wykazania klasycznych wyników analizy.

3. Rozumie, dlaczego problem sumowalności szeregów Fouriera jest istotnie łatwiejszy niż problem ich zbieżności.

4. Jest w stanie za pomocą twierdzeń analizy funkcjonalnej wykazać istnienie funkcji ciągłych o rozbieżnym w pewnym punkcie szeregu Fouriera.

5. Umie wskazać jak odpowiednie warunki gładkości wpływają na współczynniki Fouriera.

6. Zna podstawowy język abstrakcyjnej analizy harmonicznej (np. operatory mnożnikowe i słabego typu) oraz potrafi podać przykład jej zastosowania do klasycznych problemów zbieżności szeregów Fouriera.

7. Rozumie różnice pomiędzy analizą harmoniczną w przypadku miar i w przypadku funkcji.

Metody i kryteria oceniania:

Na koniec semestru przewidziany jest egzamin pisemny, którego wynik wraz z aktywnością na ćwiczeniach będzie podstawą do zaproponowania oceny. Osoby zainteresowane jej poprawą zostaną zaproszone na egzamin ustny.

Najaktywniejsze osoby na ćwiczeniach mogą zostać zwolnione z egzaminu z oceną bardzo dobrą.

Przedmiot nie jest oferowany w żadnym z aktualnych cykli dydaktycznych.
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski, Wydział Nauk Ekonomicznych.
ul. Długa 44/50
00-241 Warszawa
tel: +48 22 55 49 126 https://www.wne.uw.edu.pl/
kontakt deklaracja dostępności USOSweb 7.0.3.0 (2024-03-22)