Punktowe procesy Poissona
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-1M21PPS |
Kod Erasmus / ISCED: |
11.1
|
Nazwa przedmiotu: | Punktowe procesy Poissona |
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
Grupy: |
Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka |
Punkty ECTS i inne: |
(brak)
|
Język prowadzenia: | angielski |
Rodzaj przedmiotu: | monograficzne |
Założenia (opisowo): | Rachunek Prawdopodobieństwa I |
Skrócony opis: |
1. Rozkłady Poissona i klasyczny proces Poissona na półprostej 2. Procesy punktowe - nowoczesne podejscie. 3. Punktowe procesy Poissona. 4. Równanie Mecke, miary faktorowe. 5. Marking, thinning. 6. Operatory różnicowe, przestrzeń Focka. 7. Całka Wienera-Ito, dekompozycja L^2(P). 8. Analiza stochastyczna dla PPP, całka Skorohoda, operator Ornsteina-Uhlenbecka. 9. Zastosowania, w tym teoria aproksymacji zmiennych losowych, nierówności gradientowe, twierdzenie o 4 momencie, i inne. |
Pełny opis: |
Wychodzimy od klasycznego rozkładu Poissona i pewnych jego ciekawych własności. W prostej linii prowadzi to do klasycznego procesu Poissona na półprostej nieujemnej. Własności procesu klasycznego są źródłem konstrukcji ogólnych struktur związanych z rozkładem Poissona. Ogólną teorię zaczynamy od nowoczesnej definicji procesu punktowego jako miary o wartościach całkowitoliczbowych. Poznajemy formułę Campbella i charakterystykę procesu przez funkcjonały Laplace. Pojęcie procesu punktowego jest kluczowe dla wielu współczesnych modeli probabilistycznych. Bazując na pojęciu procesu punktowego wprowadzamy punktowe procesy Poissona (PPP) przez uogólnienie własności przypadku klasycznego. Badamy istnienie, poznajemy charakterystykę takich procesów i uczymy się całkować obiekty związane z PPP. W tym celu wprowadzamy pojęcie miar faktorowych i pokazujemy równanie Mecke, czyli wersję wzoru na całkowanie przez części dla PPP. Poznajemy pojęcie markowania i "odchudzania" PPP (marking, thinning). Poznajemy elementy teorii stacjonarnych PPP. W drugiej części wykładu wprowadzamy elementy analizy stochastycznej PPP. Uczymy się o operatorach różnicowych, przestrzei Focka, całce Wienera-Ito i dekompozycji przestrzeni L^2(P) w kontekście funkcjonałów PPP. Analiza stochastyczna PPP obejmuje całkę Skorohoda, operator Ornsteina-Uhlenbecka i związki między tymi pojęciami. Poznajemy przykłady zastosowań, w tym elementy teorii aproksymacji, nierówności gradientowe, twierdzenie o 4 momencie i inne. |
Literatura: |
1. Last G., Penrose G. Lectures on the Poisson Process, IMS Textbook by Cambridge University Press. 2. Peccati G., Reitzner M. Stochastic Analysis for Poisson Point Processes, Springer (2016). |
Efekty uczenia się: |
Uczestnik poznaje elementy teorii procesów Poissona, w tym ich charakteryzację i własności. Poznaje elementy nowoczesnej analizy PPP czyli całkę Wienera-Ito, Skorohoda, rozkład w przestrzeni Focka, itp. Poznaje przykłady zastosowań PPP w różnych dziedzinach. |
Metody i kryteria oceniania: |
Ocena na podstawie kolokwium zaliczeniowego, aktywności na zajęciach oraz egzaminu. |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski, Wydział Nauk Ekonomicznych.