Metody aktuarialne w ubezpieczeniach majątkowych

obowiązkowe

Celem zajęć jest poznanie podstawowych metod analizy aktuarialnej w zagadnieniach związanych z ubezpieczeniowym transferem ryzyka, w odniesieniu do ubezpieczeń majątkowo-osobowych.

Ta część kursu dotyczy modelowania ryzyka krótkoterminowego, zawartego w najbardziej typowych jednorocznych kontraktach ubezpieczeniowych. Przedmiotem analizy są rozkłady częstości szkód oraz wartości pojedynczej szkody, zarówno na poziomie pojedynczego kontraktu ubezpieczeniowego, jak i na poziomie portfela ubezpieczeń. Analiza rozkładów prowadzona jest z zastosowaniem funkcji generującej momenty i funkcji generującej kumulanty. Szczególna uwaga poświęcona jest zjawisku dywersyfikacji powstającego w rezultacie tejże agregacji ryzyk w portfel ubezpieczyciela.

1. Kalkulacja składki (podejście top-down) (4 godz.)

Kalkulacja składki za cały portfel ubezpieczyciela – przy założeniu normalności oraz formuły kwantylowej. Dekompozycja składki za portfel na skłądkę za pojedyncze ryzyka – na zasadzie krańcowego udziału ryzyka wnoszonego przez kontrakt do ryzyka portfela. Dlaczego suma skladek opartych o koszt krańcowy nie pokrywa składki pożadanej za cały portfel, i co z tym możemy zrobić (Otto, książka, rozdz. 1)

2. Model ryzyka indywidualnego (6 h.)

Rozkłady ciągło-dyskretne. Całkowanie po przyroście dystrybuanty. Wartość oczekiwana i momenty wyższych rzędów. Funkcja generująca momenty i funkcja generująca kumulanty. Splot – obliczenia dokładne i przybliżenia numeryczne. (Otto, książka, rozdz. 2)

3. Model ryzyka kolektywnego – rozkłady liczby szkód (6 h.)

Rozkład dwumianowy i Poissona, tożsamość procesu z czasami oczekiwania na kolejne szkody niezależnymi o rozkładzie wykładniczym z procesem liczącym Poissona. Twierdzenia o rodzinach rozkładów zamkniętych ze względu na operację splotu. Rozkład ujemny dwumianowy jako mieszany rozkład Poissona, jako złożony rozkład Poissona, oraz jako rozkład liczby sukcesów poprzedzajacych r-tą z kolei porażkę. Dlaczego niejednorodność populacji ryzyk (i umiejetność dostrzeżenia tego w danych empirycznych) ma takie duże praktyczne znaczenie. (Otto, książka, rozdz. 3)

4. Model ryzyka kolektywnego – rozkłady złożone (4 h.)

Rozkład złożony dwumianowy, złożony Poissona, i złożony ujemny dwumianowy. Rozkłady wartości pojedynczej szkody. Twierdzenia o dodawaniu dla rozkładów złożonych. Specjalne zastosowanie rozkładu złożonego – rozkład liczby szkód wyróżnionych.Twierdzenie Panjera. Dyskretyzacja rozkładów ciągłych. (Otto, książka, rozdz. 4)

5. Rozkłady niestandardowe. (2 h.)

Empirycystyczne podejście do modelowania liczby szkód - rozkłady z ogonem Poissonowskim. Inne przykłady odstępstw od rozkładów najprostszych, w tym przypadek, gdy ubezpieczeni motywowani są do niezgłaszania niektórych szkód. (Otto, książka, rozdz. 5)

6. Zagadnienia podziału ryzyka. (4 h.)

Podział poporcjonalny i nieproporcjonalny. Teoria użyteczności i optymalny podział ryzyka. Własności nadwyżki szkody ponad udział własny jako zmiennej losowej. Efekt inflacyjny w kontraktach nieproporcjonalnych. (Otto, książka, rozdz. 6)

7. Aproksymacje rozkładu łącznej wartości szkód i kalkulacja składki . (2 h.)

Aproksymacja rozkładem normalnym i rozkładem przesunietym Gamma. Formuły składki za portfel i za indywidualne ryzyko. Kontrola ryzyka w skali portfela poprzez limitowanie odpowiedzialności za indywidualne szkody. (Otto, książka, rozdz. 7)

8. Rezerwy i metoda Chain-Ladder. (2 h.)

Typologia rezerww ubezpieczeniach majątkowych. Więcej o rezerwie na szkody zaszłe, ale nie zlikwidowane. Metoda Chain-Ladder. (Otto, skrypt: wykład 1)

Literatura

1. Wojciech Otto, Ubezpieczenia majątkowe, WNT Warszawa 2004, 2008

2. Wojciech Otto, Kalkulacja rezerw, WNE UW 2009, skrypt

Wiedza

Student rozumie podstawowe modele stosowane w ubezpieczeniach majątkowych: model ryzyka indywidualnego i ryzyka kolektywnego. Dokładniej rozumie efekt dywersyfikacji pojawiający się w efekcie łączenia ryzyk w duże portfele. Temu zrozumieniu służy znajomość takich operacji jak splot, składanie oraz mieszanie rozkładów, jak również przybliżanie łącznego rozkładu szkód z portfela na podstawie znajomości podstawowych charakterystyk ryzyk w jego skład wchodzących. Rozumie także znaczenie podziału ryzyka, w szczególności redukcję ryzyka cedenta w kontraktach nieproporcjonalnych. Rozumie także kontrolę ryzyka podejmowanego przez ubezpieczyciela poprzez limitownie jego odpowiedzialności w zawieranych kontraktach. Kalkulacja rezerw w ubezpieczeniach majątkowych jest zilustrowana na przykładzie metody Chain-Ladder.

Umiejętności:

Student umie stosować podstawowe metody rachunku prawdopodobieństwa do modelowania ryzyka w ubezpieczeniach majątkowych. Rozumie czym różni się ryzyko portfela od ryzyka pojedynczego kontraktu, i jaki jest związek kalkulacji składki za portfel i za ryzyko. Rozumie także w jaki sposób można kontrolować skalę ryzyka podejmowanego przez ubezpieczyciela poprzez limitowanie odpowiedzialności (bezpośrednio w kontraktach zawieranych z ubezpieczonymi, jak również poprzez reasekurację).

Kompetencje społeczne

Rozumiejąc złożony mechanizm aktuarialnej wyceny umowy ubezpieczenia, student może wnosić pozytywny wkład do publicznej debaty dotyczącej kwestii, w których pojawiają się zagadnienia ryzyka. Tym samym może wzmacniać racjonalną postawę wobec rynków obsługujących transfer ryzyka.

KW01, KW02, KW03, KW04, KU01, KU02, KU03, KU04, KU05, KU06, KU07, KK01, KK02, KK03

Zaliczenie pisemne polega na rozwiązaniu 4 zadań wybranych spośród zadanych pięciu. Za każde zadanie można uzyskać maksymalnie 10 punktów, zalicza 21. Doceniana jest także aktywność na zajęciach i odrabianie prac domowych (zadań).