Probability Calculus
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 2400-PP2RPa |
Kod Erasmus / ISCED: |
14.3
|
Nazwa przedmiotu: | Probability Calculus |
Jednostka: | Wydział Nauk Ekonomicznych |
Grupy: |
Anglojęzyczna oferta zajęć WNE UW Przedmioty obowiązkowe dla II r. studiów licencjackich - Finanse Publiczne i Podatki Przedmioty obowiązkowe dla II r. studiów licencjackich - Ekonomia Międzynarodowa Przedmioty obowiązkowe dla II r. studiów licencjackich - Ekonomia Przedsiębiorstwa Przedmioty obowiązkowe dla II r. studiów licencjackich - Finanse i Rachunkowość Przedmioty obowiązkowe dla II r. studiów licencjackich - Informatyka i Ekonometria Przedmioty obowiązkowe dla II r. studiów licencjackich (Ekonomia) - program wspólny Przedmioty obowiązkowe na WNE dla II r.licencjackich: Ekonomia, specjalność: MSEMen |
Punkty ECTS i inne: |
6.00
|
Język prowadzenia: | angielski |
Rodzaj przedmiotu: | obowiązkowe |
Założenia (opisowo): | (tylko po angielsku) Official requirements knowledge of undergraduate calculus |
Skrócony opis: |
Elementarny rachunek prawdopodobieństwa, zmienne losowe i ich rozkłady, twierdzenia graniczne. |
Pełny opis: |
Elementarny rachunek prawdopodobieństwa (8 h). Modele doświadczenia losowego: a) dyskretne, w tym tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa; b) ciągłe (modele z gęstościami). Aksjomatyka Kołmogorowa. Podstawowe własności rachunkowe prawdopodobieństwa. Wzór włączeń i wyłączeń. Pobieranie próbek. Próbka jako miniatura populacji. Prawdopodobieństwo warunkowe. Wzór na prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa. Wzajemna niezależność zdarzeń; niezależność parami. Model dla ciągu niezależnych doświadczeń. Schemat Bernoulliego. Twierdzenie Poissona. Zmienne losowe, rozkłady (14 h). Definicja zmiennej losowej o wartościach rzeczywistych. Rozkłady prawdopodobieństwa. Rozkłady dyskretne i ciągłe. Gęstość jako abstrakcyjny odpowiednik histogramu. Własności gęstości. Dystrybuanta i kwantyle. Własności dystrybuanty: granice w nieskończoności, monotoniczność, prawostronna ciągłość. Dystrybuanta a rozkład. Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych. Wartość oczekiwana, wariancja, kowariancja. Momenty, współczynnik asymetrii i kurtoza. Analogiczne charakterystyki liczbowe próbki (także dystrybuanta empiryczna i kwantyle). Rozkład łączny dwóch zmiennych losowych. Współczynnik korelacji liniowej. Nierówność Schwarza. Wartość oczekiwana i wariancja dla najważniejszych rozkładów. Przykład rozkładu bez wart. oczekiwanej - rozkład Cauchy'ego. Wartość oczekiwana funkcji zm. los. Zastosowanie: funkcje tworzące, funkcje tworzące momenty, funkcje charakterystyczne (jedynie informacja). Wzór na iloczyn wartości oczekiwanych niezależnych zmiennych losowych. Niezależność a współczynnik korelacji. Nierówność Czebyszewa i nierówność Bernsteina dla schematu Bernoulliego. Niezależność zmiennych losowych, kryteria niezależności dla rozkładów dyskretnych i ciągłych. Rozkłady sum niezależnych zmiennych losowych. Przykłady: rozkłady gamma, chi-kwadrat, F, t-Studenta. Warunkowa wartość oczekiwana dla rozkładów dyskretnych i ciągłych. Dwuwymiarowy i wielowymiarowy standardowy rozkład normalny. Rozkład średniej i wariancji z próbki o rozkładzie normalnym. Twierdzenia graniczne (6 h). Zbieżność według prawdopodobieństwa i prawie na pewno. Słabe i mocne prawo wielkich liczb dla schematu Bernoulliego. Słabe prawo wielkich liczb dla nieskorelowanych zmiennych losowych. Zastosowania: Twierdzenie o zbieżności dystrybuanty empirycznej (słaby wariant tzw. Gliwenki-Cantelliego). Twierdzenie de Moivre'a-Laplace'a i przykłady zastosowania (m.in. przedział ufności dla parametru rozkładu Bernoulliego). Centralne twierdzenie graniczne dla niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach. Rozklad lognormalny i multiplikatywna wersja CTG. Łańcuchy Markowa (2h) Łańcuchy Markowa. Modelowanie procesów losowych za ich pomocą. Tw. ergodyczne dla skończonych łańcuchów Markowa. Wyznaczanie prawdopodobieństw pochłonięcia. |
Literatura: |
J. Jakubowski, R. Sztencel, Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego. Wyd. II, SCRIPT, Warszawa 2002. W. Niemiro, Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna. Szkoła Nauk Ścisłych, Warszawa 1999. W. Feller, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, t. I, wyd. II, PWN, Warszawa 1966. J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Wyd. III, SCRIPT, Warszawa 2004. W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, cz. I, PWN, Warszawa. |
Efekty uczenia się: |
Umiejętność rozumienia i stosowania rachunku prawdopodobieństwa w badaniach statystycznych i ekonometrycznych. KW01, KW02, KW03, KU01, KU02, KU03, KU04, |
Metody i kryteria oceniania: |
Ćwiczenia: aktywność grupowa podczas zajęć (prezentacja rozwiązań zadań podczas ćwiczeń 20%) + aktywność indywidualna na platformie moodle (20%) + dwa sprawdziany (rozwiązywanie zadań, po 30%) Ocena końcowa z przedmiotu: wynik z ćwiczeń (40%) + egzamin końcowy z przedmiotu (60%) Egzamin końcowy: egzamin pisemny (5-7 zadań do rozwiązania), w przypadku sesji on-line możliwy egzamin ustny. Obecność na ćwiczeniach obowiązkowa. |
Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2023/24" (zakończony)
Okres: | 2023-10-01 - 2024-01-28 |
Przejdź do planu
PN WT ŚR CW
CZ WYK
PT |
Typ zajęć: |
Ćwiczenia, 30 godzin
Wykład, 30 godzin
|
|
Koordynatorzy: | Anna Janicka | |
Prowadzący grup: | Anna Janicka, Kateryna Zabarina | |
Lista studentów: | (nie masz dostępu) | |
Zaliczenie: |
Przedmiot -
Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę Wykład - Egzamin |
Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2024/25" (jeszcze nie rozpoczęty)
Okres: | 2024-10-01 - 2025-01-26 |
Przejdź do planu
PN WT ŚR CW
CZ WYK
PT |
Typ zajęć: |
Ćwiczenia, 30 godzin
Wykład, 30 godzin
|
|
Koordynatorzy: | Anna Janicka | |
Prowadzący grup: | Anna Janicka | |
Lista studentów: | (nie masz dostępu) | |
Zaliczenie: |
Przedmiot -
Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę Wykład - Egzamin |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski, Wydział Nauk Ekonomicznych.