Przedmioty matematyczne dla doktorantów (grupa przedmiotów zdefiniowana przez Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki)

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Teoria algebr operatorów zajmuje się badaniem rodzin operatorów na przestrzeni Hilberta. Wyrosła z próby stworzenia przez von Neumanna aparatu matematycznego do opisu mechaniki kwantowej. Wykład zaczniemy od wprowadzenia do ogólnej teorii, obrazując analogie z teorią miary. Następnie skupimy się na przykładach, głównie pochodzących z teorii grup. W tym kontekście pojawia się wiele pojęć, które można zdefiniować dla ogólnych algebr operatorów. Ta motywacja posłuży nam do głębszego zbadania algebr von Neumanna, szczególnej klasy algebr operatorów o bardzo silnych związkach z teorią miary i teorią ergodyczną.

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Podstawowym celem jest zrozumienie różnych technik stosowanych do badania rozmaitości zdefiniowanych nad ciałami o dodatniej charakterystyce i zastosowanie tych metod do badania rozmaitości w charakterystyce zero.

Pokazane będą też znaczące różnice występujące między rozmaitościami w charakterystyce zero i w charakterystyce dodatniej.

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

In this lecture, we will introduce the necessary basic concepts from topology that are needed for the first step into topological data analysis, e.g. topological

spaces, simplicial complexes, homology etc. Parallel to introducing these the- oretical concepts, we also discuss options of how to handle geometric objects

with the help of computers and learn how to implement the learned techniques to analyze data. The lecture will be accompanied by exercise sessions, in which

theoretical and practical (programming) problems will be solved by the students. Prior knowledge of (algebraic) topology will be helpful but not a strict re-

quirement. First experiences with Python is necessary for the practical part.

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Kurs ma na celu wprowadzenie do teorii kwantowych i kategoryjnych

niezmienników węzłów. Po wyjaśnieniu klasycznych wielomianów

Aleksandra, Conwaya, Jonesa i HOMFLY-PT, skwantujemy je za pomocą reprezentacji grup kwantowych i funktora Reshetikhina-Turaeva oraz skategoryfikujemy do homologii Khovanova-Lee. Kurs oparty jest na

wybranych fragmentach literatury wymienionej poniżej. Podane zostaną

sugestie dotyczące dalszej lektury.

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Wykład będzie poświęcony kilku ważnym typom twierdzeń o niedowodliwości w teoriach aksjomatycznych. Twierdzenia o niedowodliwości są formalnym świadectwem tego, że pewne problemy matematyczne nie mogą być rozstrzygnięte za pomocą określonych metod, pojęć czy obiektów. W tej edycji kursu skupimy się na wynikach o niedowodliwości twierdzeń mających konkretną treść kombinatoryczną lub teorioliczbową w teoriach o sile porównywalnej z Arytmetyką Peano, czyli kanoniczną teorią formalizującą "matematykę obiektów skończonych".

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Wykład będzie poświęcony dynamicznym modelom przyczynowości w postaci grafów skierowanych, których wierzchołkami są procesy stochastyczne. Podsumujemy istniejące wyniki charakteryzujące warunkową niezależność w takich modelach.

Omówimy pojęcie interwencji (kontrolowanego eksperymentu) i zagadnienie przewidywania efektów interwencji na podstawie

danych obserwacyjnych. Przedstawimy zastosowanie pojęć teorii informacji do kwantyfikacji zależności w dynamicznych modelach przyczynowości.

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Przedstawione zostaną podstawowe pojęcia i twierdzenia teorii kategorii takie jak funktory, transformacje naturalne, sprzężenie funktorów, charakteryzacje konstrukcji przez własności uniwersalne. Jako zastosowanie zostaną pokazane analogie między konstrukcjami występującymi w rozmaitych działach matematyki:. algebrze, geometrii, topologii i analizie matematycznej, widoczne z perspektywy kategoryjnej. Przykładami zostanie zilustrowany proces katygoryfikacji (categorification) rozmaitych teorii matematycznych.