Teoria mnogości

fakultatywne

Wykład omawia podstawowe zagadnienia teorii mnogości (liczby porządkowe i kardynalne, aksjomaty teorii mnogości) oraz wprowadza elementy kombinatoryki nieskończonej.

Jeśli w wykładzie nie uczestniczą słuchacze obcojęzyczni, wykład będzie prowadzony po polsku.

Na wykładzie zostaną przedstawione następujące zagadnienia:

1. Tematy uzupełniające wykład ze Wstępu do Matematyki (dobre porządki, liczby porządkowe, indukcja pozaskończona, liczby kardynalne, aksjomaty teorii mnogości).

2. Elementy kombinatoryki nieskończonej, ze szczególnym uwzględnieniem tych pojęć i twierdzeń, które znajdują zastosowanie w innych działach matematyki (filtry i ideały, ultrafiltry, zasada zwartości, Delta-systemy, Delta-lemat i jego konsekwencje, zbiory stacjonarne, lemat Fodora, twierdzenia podziałowe typu Ramseya).

Do zrozumienia wykładu wystarczy znajomość podstaw teorii mnogości w zakresie ,,Wstępu do matematyki''.

P. Zakrzewski, Teoria mnogości (skrypt wykładu), https://www.mimuw.edu.pl/~piotrzak/TM-skrypt.pdf.

A.Błaszczyk, S.Turek, Teoria mnogości, PWN 2007.

W.Just, M.Weese, Discovering modern set theory, I: The basics, II: Set-theoretic tools for every mathematician, Graduate Studies in Mathematics vol. 8 (1996), 18 (1997), American Mathematical Society.

Student

1. zna lemat Kuratowskiego-Zorna. Potrafi go zastosowac do dowodzenia istnienia zbiorów o ciekawych własnosciach, w tym ultrafiltrów niegłównych;

2. zna pojecie dobrego porzadku i liczby porzadkowej w sensie von Neumanna. Zna działania na liczbach porzadkowych. Potrafi przeprowadzac dowody i konstrukcje przez indukcje pozaskonczona;

3. zna pojecie liczby kardynalnej, działania na liczbach kardynalnych i najwazniejsze twierdzenia arytmetyki kardynalnej, w tym twierdzenie Hessenberga i wzór Hausdorffa. Za pomoca działan na liczbach kardynalnych potrafi wyrazac moce rozmaitych zbiorów;

4. zna pojecie współczynnika współkoncowosci liczby kardynalnej oraz pojecie liczby kardynalnej regularnej i singularnej;

5. zna pojecia podzbioru domknietego i nieograniczonego oraz podzbioru (nie)stacjonarnego regularnej liczby kardynalnej. Potrafi wskazac przykłady takich zbiorów. Zna i potrafi stosowac lemat Fodora;

6. zna twierdzenia o istnieniu i wielkosci róznych rodzin zbiorów o ciekawych własnosciach kombinatorycznych, w tym rodzin zbiorów parami prawie rozłacznych, $Delta$-systemów i rodzin niezaleznych;

7. zna pojecie drzewa oraz podstawowe twierdzenia dotyczace problemu istnienia współkoncowych gałezi w drzewie, w tym twierdzenia K¨oniga i Aronszajna;

8. zna podstawowe twierdzenia podziałowe, w tym twierdzenia Ramseya, Erd"osa-Rado i Erd"osa-Dushnika-Millera;

9. zna aksjomaty teorii ZFC oraz niektóre dodatkowe aksjomaty teorii mnogosci, w tym CH i GCH.