Fizyka matematyczna i teoria ergodyczna układów sieciowych - model Isinga, kwazikryształy

Wykład poświęcony będzie badaniu matematycznych modeli układów oddziałujących cząstek umieszczonych w węzłach regularnych sieci.

Omówimy model Isinga oddziałujących spinów oraz teorię perkolacji. Są to działy nowoczesnej probabilistyki, w szczególności jest to tematyka rozwijana przez Stanislava Smirnova i Hugo Dominila - Copin, laureatów medalu Fieldsa, odpowiednie w 2010 i w 2022 roku. Omówimy ich wyniki.

Przedyskutujemy 18. problem Hilberta i jego związki z kwazikryształami i z teorią ergodyczną symbolicznych układów dynamicznych.

Nie zakładamy znajomości fizyki ani matematyki wykraczającej poza wykłady kursowe z dwóch pierwszych lat studiów.

Wykład poświęcony będzie badaniu matematycznych modeli układów oddziaływujących cząstek umieszczonych w węzłach regularnych sieci. Jako przykład ilustrujący istnienie magnesów przedstawiony zostanie model Isinga oddziałujących spinów. Udowodnimy spontaniczne złamanie symetrii - istnienie przejścia fazowego.

Przedyskutujemy 18. problem Hilberta i jego związki z kwazikryształami - mikroskopowymi modelami oddziałujących cząstek, dla których minimum funkcjonału energii osiągane jest tylko dla nieokresowych konfiguracji. Przedstawione zostaną nieokresowe parkietaże płaszczyzny i ich związki z teorią ergodyczną symbolicznych układów dynamicznych. Zajmiemy się też układami jednowymiarowymi - ciągami Thue-Morse'a i Fibonacciego i ogólnie układami Sturma.

Zaprezentowane zostaną fundamentalne otwarte problemy: istnienie nieokresowych miar Gibbsa i istnienie jednowymiarowych nieergodycznych automatów komórkowych.

Nie zakładamy znajomości fizyki ani matematyki wykraczającej poza wykłady kursowe z dwóch pierwszych lat studiów.

Plan wykładów

1. Dlaczego istnieją magnesy? Model Isinga odziałujących spinów

2. Spontaniczne złamanie symetrii w ferromagnetycznym modelu Isinga

3. Zasady wariacyjne - minimalizacja funkcjonału energii swobodnej

4. Ścisłe rozwiązanie jedno-wymiarowego modelu Isinga.

Przybliżenie pola średniego w dwu-wymiarowym modelu Isinga

5. Uogólnienie modelu Isinga - klasyczne gazy sieciowe

6. Perkolacja

7. Nieokresowe parkietaże - 18 problem Hilberta

8. Mikroskopowe modele kwazikryształów - układy z nieokresowymi stanami okresowymi

9. Nieokresowe miary Gibbsa

10. Symboliczne układy dynamiczne - ciągi Thue-Morse'a i Fibonacciego

11. Teoria ergodyczna układów nieokresowych

12. Topologia układów nieokresowych

13. Jednowymiarowe układy oddziałujących cząstek bez okresowych stanów podstawowych

14. Automaty komórkowe

1. Sacha Friedli and Yvan Velenik, Statistcal Mechanics of Lattice Systems - A Concrete Mathematical Introduction, Cambridge University Press, 2018

Książka dostępna on-line https://www.unige.ch/math/folks/velenik/smbook/

2. Jean Bricmont, Making Sense of Statistical Mechanics, Springer, 2022

https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-030-91794-4#toc

3. Michael Baake and Uwe Grimm, Aperiodic Order, vol 1, A Mathematical Invitation, Cambridge University Press, 2013