Probability Calculus

obowiązkowe

Elementarny rachunek prawdopodobieństwa, zmienne losowe i ich rozkłady, twierdzenia graniczne.

Elementarny rachunek prawdopodobieństwa (6 h). Modele doświadczenia losowego: a) dyskretne, w tym tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa; b) ciągłe (modele z gęstościami). Aksjomatyka Kołmogorowa. Podstawowe własności rachunkowe prawdopodobieństwa. Wzór włączeń i wyłączeń. Pobieranie próbek. Próbka jako miniatura populacji. Prawdopodobieństwo warunkowe. Wzór na prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa. Wzajemna niezależność zdarzeń; niezależność parami. Model dla ciągu niezależnych doświadczeń. Schemat Bernoulliego. Twierdzenie Poissona.

Zmienne losowe, rozkłady (14 h). Definicja zmiennej losowej o wartościach rzeczywistych. Rozkłady prawdopodobieństwa. Rozkłady dyskretne i ciągłe. Gęstość jako abstrakcyjny odpowiednik histogramu. Własności gęstości. Dystrybuanta i kwantyle. Własności dystrybuanty: granice w nieskończoności, monotoniczność, prawostronna ciągłość. Dystrybuanta a rozkład. Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych. Wartość oczekiwana, wariancja, kowariancja. Momenty, współczynnik asymetrii i kurtoza. Analogiczne charakterystyki liczbowe próbki (także dystrybuanta empiryczna i kwantyle). Rozkład łączny dwóch zmiennych losowych. Współczynnik korelacji liniowej. Nierówność Schwarza. Wartość oczekiwana i wariancja dla najważniejszych rozkładów. Przykład rozkładu bez wart. oczekiwanej - rozkład Cauchy'ego. Wartość oczekiwana funkcji zm. los. Zastosowanie: funkcje tworzące, funkcje tworzące momenty, funkcje charakterystyczne (jedynie informacja). Wzór na iloczyn wartości oczekiwanych niezależnych zmiennych losowych. Niezależność a współczynnik korelacji. Nierówność Czebyszewa i nierówność Bernsteina dla schematu Bernoulliego. Niezależność zmiennych losowych, kryteria niezależności dla rozkładów dyskretnych i ciągłych. Rozkłady sum niezależnych zmiennych losowych. Przykłady: rozkłady gamma, chi-kwadrat, F, t-Studenta. Warunkowa wartość oczekiwana dla rozkładów dyskretnych i ciągłych. Dwuwymiarowy i wielowymiarowy standardowy rozkład normalny. Rozkład średniej i wariancji z próbki o rozkładzie normalnym.

Twierdzenia graniczne (4 h). Zbieżność według prawdopodobieństwa i prawie na pewno. Słabe i mocne prawo wielkich liczb dla schematu Bernoulliego. Słabe prawo wielkich liczb dla nieskorelowanych zmiennych losowych. Zastosowania: Twierdzenie o zbieżności dystrybuanty empirycznej (słaby wariant tzw. Gliwenki-Cantelliego). Twierdzenie de Moivre'a-Laplace'a i przykłady zastosowania (m.in. przedział ufności dla parametru rozkładu Bernoulliego). Centralne twierdzenie graniczne dla niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach. Rozklad lognormalny i multiplikatywna wersja CTG.

Łańcuchy Markowa (2h) Łańcuchy Markowa. Modelowanie procesów losowych za ich pomocą. Tw. ergodyczne dla skończonych łańcuchów Markowa. Wyznaczanie prawdopodobieństw pochłonięcia.

Skrypt przedmiotu (autorstwa Radka Adamczaka i Adama Osękowskiego, dostępny on-line)

Literatura w języku polskim:

J. Jakubowski, R. Sztencel, Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego. Wyd. II, SCRIPT, Warszawa 2002.

W. Niemiro, Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna. Szkoła Nauk Ścisłych, Warszawa 1999.

Literatura on-line:

Charles M. Grinstead and J. Laurie Snell, Introduction to Probability, available online

Sheldon M. Ross, Introduction to Probability Models, available in the FoES library and online

Wackerly, D., Mendenhall, W., & Scheaffer, R. Mathematical statistics with applications, available in the FoES library

Umiejętność rozumienia i stosowania rachunku prawdopodobieństwa w badaniach statystycznych i ekonometrycznych.

KW01, KW02, KW03, KU01, KU02, KU03, KU04,

Ćwiczenia: aktywność grupowa podczas zajęć (prezentacja rozwiązań zadań podczas ćwiczeń 20%) + aktywność indywidualna na platformie moodle (30%) + sprawdzian (rozwiązywanie zadań, 50%)

Ocena końcowa z przedmiotu: wynik z ćwiczeń (40%) + egzamin końcowy z przedmiotu (60%)

Egzamin końcowy: egzamin pisemny (5-7 zadań do rozwiązania), w przypadku sesji on-line możliwy egzamin ustny.

Obecność na ćwiczeniach obowiązkowa.