Równania różniczkowe i różnicowe

obowiązkowe

Założenia wstępne: Student powinien posiadać umiejętność posługiwania się rachunkiem różniczkowym i całkowym oraz pojęciami algebry liniowej w zakresie kursu tych przedmiotów dla pierwszego roku WNE lub jakiegokolwiek wydziału o kierunku matematycznym, przyrodniczym lub technicznym.

Celem zajęć jest zapoznanie słuchaczy z jednym z najważniejszych narzędzi modelowania matematycznego: równaniami różniczkowymi i różnicowymi. Stosowane są niemal w każdej dziedzinie współczesnej nauki gdy modelujemy procesy zmienne w czasie i bez znajomości ich podstawowych pojęć i faktów nie jest możliwe jej zrozumienie. Teoria równań różniczkowych znalazła zastosowanie zarówno w naukach przyrodniczych jak i społecznych: socjologii i ekonomii. Jednym z pionierów takich zastosowań był polski ekonomista, Michał Kalecki. Zajęcia są wprowadzeniem do rozległej dziedziny i mają na celu zapoznanie słuchaczy z podstawowymi typami równań różniczkowych zwyczajnych, metodami ich rozwiązywania oraz licznymi przykładami ich zastosowań. Przeważa forma wykładu z aktywnym uczestnictwem słuchaczy i ewentualnymi prezentacjami. Przeznaczone są dla studentów studiów stopnia drugiego.

Początki rachunku różniczkowego i jego zastosowań. Idee Leibniza i Newtona: zasady optymalnego działania (Leibniza) i prawa dynamiki układów (Newtona). Pierwsze zastosowania równań różniczkowych w naukach przyrodniczych i socjologii (modele rozwoju populacji). Podstawowe typy równań różniczkowych zwyczajnych: równania o zmiennych rozdzielonych, jednorodne, równania liniowe pierwszego i drugiego rzędu, równanie Bernoulliego i Riccatiego, układy równań pierwszego rzędu i ich obrazy fazowe. Makroekonomiczny model M.Kaleckiego – krzywe logistyczne. linearyzacja układów nieliniowych, układ Lotki-Voltery. Elementy jakościowej teorii równań różniczkowych: klasyfikacja punktów stacjonarnych i równoważności obrazów fazowych na płaszczyźnie. Zagadnienia ekstremalne, równania Eulera-Lagrange’a i Hamiltona. Równania różnicowe, schematy różnicowe jedno- i wielokrokowe, przykłady.

Andrzej Palczewski, Równania różniczkowe zwyczajne, teoria i metody numeryczne , WNT 2004

D.K.Arrowsmith, C.M.Place, Ordinary Differential Equations, London, New York 1982,

R.Haberman, Mathematical Models, Prentice-Hall, 1977

Po ukończeniu przedmiotu student potrafi posługiwać się najczęściej stosowanymi w praktyce typami równań różniczkowych i układów równań, umie je rozwiązywać i analizować właściwości rozwiązań. Potrafi budować proste modele różniczkowe niektórych procesów dynamicznych i czytać ze zrozumieniem prace naukowe, w których takie modele są tworzone i analizowane. Posiada również wiedzę o niektórych metodach przybliżonych rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych oraz umiejętnośc posługiwania się pewnymi programami komputerowymi do takic przybliżonych obliczeń. Posiada również pewną wiedzę o zagadnieniach ekstremalnych (optymalizacji) i jest przygotowany do jej rozszerzania poprzez czytanie ze zrozumieniem odpowiedniej literatury przedmiotu.

W czasie zajęć oczekiwana jest aktywność słuchacza, gotowość do rozwiązywania prostszych zadań przy tablicy i przygotowania prezentacji. Oceniana jest praca końcowa w postaci serii zadań na kolokwiach i ewentualnie opracowania przykładów zastosowań równań różniczkowych w naukach społecznych.

Ocena: 75% punktów za trzy zadania i 25% za aktywność.