Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia (grupa przedmiotów zdefiniowana przez Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki)

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład monograficzny - 30 godzin

Wykład "Algebry Banacha" ma na celu zaznajomienie uczestników z podstawową teorią algebr Banacha ze szczególnym uwzględnieniem przypadku przemiennego.

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Wykład "Analiza harmoniczna" jest przeznaczony dla studentów zainteresowanych szeroko pojętą analizą. Jego celem jest przekazanie wiedzy na temat klasycznych wyników przemiennej analizy harmonicznej i fourierowskiej. Przedmiot ten stanowi doskonały wstęp do nauki zagadnień bardziej szczegółowych oraz abstrakcyjnych. Wymagana jest znajomość analizy na poziomie pierwszych dwóch lat studiów oraz wiedza wchodząca w zakres funkcji analitycznych i analizy funkcjonalnej I (zaliczanie równoczesne tych wykładów jest wystarczające).

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Celem zajęć jest zapoznanie przyszłych nauczycieli matematyki z uwarunkowaniami zawodu nauczyciela.

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Omawiane są następujące tematy:

* Abstrakcyjne ekwiwariantne teorie kohomologii i twierdzenie o lokalizacji dla działania torusa

* Ekwiwariantna K-teoria Segala poprzez topologiczne wiązki jako przykłąd ekwiwariantnej teorii kohomologii

* Genus eliptyczny i formy modularne

* Eliptyczne ekwiwariantne kohomologie dla przestrzeni z działaniem torusa.

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Forcing stosowany jest do wykazywania dowodów niesprzeczności zdań języka teorii mnogości z ZFC, pozwala on na rozszerzanie danego modelu teorii mnogości M do większego modelu M[G], gdzie G jest tzw. filtrem generycznym nad M.

Forcing iterowany to metoda rozszerzania danego modelu teorii mnogości M, używająca powyższego schematu wielokrotnie: model M rozszerzany jest do modelu M1 = M[G0], gdzie G0 jest filtrem generycznym nadM, następnie nowo powstały model M1 jest rozszerzany do modeluM1[G1], gdzie G1 jest filtrem generycznym nad M1, itd.

Stosując tę procedurę α razy, gdzie α ∈ M jest liczbą porządkową, otrzymuje się złożony model będący rozszerzeniem M.

Celem wykładu będzie omówienie tej zaawansowanej techniki wraz z zaprezentowaniem jej zastosowań. Forcing iterowany stanowi obecnie niezbędne narzędzie w prowadzeniu badań na polu teorii mnogości, topologii i innych dziedzin, gdzie rozwiązania problemów badawczych zależą od przyjętej aksjomatyki teoriomnogościowej.

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Kurs poświęcony jest najważniejszym funkcjom specjalnym i ich zastosowaniom do równań różniczkowych.

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Podstawowym celem jest zrozumienie różnych technik stosowanych do badania rozmaitości zdefiniowanych nad ciałami o dodatniej charakterystyce i zastosowanie tych metod do badania rozmaitości w charakterystyce zero.

Pokazane będą też znaczące różnice występujące między rozmaitościami w charakterystyce zero i w charakterystyce dodatniej.

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Geometryczna teoria grup to współczesna gałąź matematyki, w której grupy nieskończone badane są poprzez ich geometryczne własności. Te własności często manifestują się poprzez działania na odpowiednich przestrzeniach z dodatkową strukturą. Analizując te działania można otrzymać wiele wniosków dotyczących algebraicznych własności grupy.

Przy pomocy tych technik przez ostatnie cztery dekady otrzymano wiele nowych, istotnych wyników dotyczących struktury i własności dużych klas grup. Dziedzina ta jest obecnie jednym z prężniej rozwijających się obszarów współczesnej matematyki, mającym niepuste przecięcia z układami dynamicznymi, kombinatoryka enumeratywną czy nieprzemienną geometrią

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

In this lecture, we will introduce the necessary basic concepts from topology that are needed for the first step into topological data analysis, e.g. topological

spaces, simplicial complexes, homology etc. Parallel to introducing these the- oretical concepts, we also discuss options of how to handle geometric objects

with the help of computers and learn how to implement the learned techniques to analyze data. The lecture will be accompanied by exercise sessions, in which

theoretical and practical (programming) problems will be solved by the students. Prior knowledge of (algebraic) topology will be helpful but not a strict re-

quirement. First experiences with Python is necessary for the practical part.

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Proponowany wykład stanowi przegląd zagadnień geometrii różniczkowej, w których kluczową rolę odgrywają metody równań różniczkowych (zwłaszcza cząstkowych), a motywem przewodnim jest pojęcie krzywizny w geometrii Riemanna. Przykładowe zagadnienia:

- Twierdzenie Nasha o zanurzeniu izometrycznym

- Twierdzenie Nasha-Kuipera o zanurzeniu izometrycznym C^1

- Wyniki dotyczące potoku krzywiznowego dla krzywych w R^2 (curve-shortening flow) i średniokrzywiznowego dla podrozmaitości w R^n

- Regularność rozmaitości o ograniczonej krzywiźnie Ricciego

Dokładna lista zagadnień zależy od liczby i poziomu przygotowania uczestników - idealnie powinni oni mieć za sobą podstawowy kurs (tzn. wstęp do) geometrii różniczkowej i równań różniczkowych cząstkowych.

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Celem wykładu jest zapoznanie uczestników z podstawami teorii losowych układów dynamicznych. Wykład będzie ilustrowany przykładami zastosowań, w tym - wybranymi publikacjami.

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Metoda Bellmana jest uniwersalnym narzędziem służącym do dowodzenia szerokiej klasy nierówności, wywodzącym się z teorii optymalnego sterowania. Celem przedmiotu jest przedstawienie podstawowej wersji tej techniki i zastosowanie jej do badania kilku wybranych zagadnień z analizy i rachunku prawdopodobieństwa.

W szczególności, omówione zostaną:

- elementy programowania dynamicznego, elementarne oszacowania z analizy (3 wykłady).

- elementy teorii optymalnego stopowania dla martyngałów i łańcuchów Markowa z czasem dyskretnym (3 wykłady)

- metoda Bellmana i nierówności dla semimartyngałów z czasem dyskretnym oraz czasem ciągłym. Zastosowania w analizie harmonicznej (5-6 wykładów)

- nierówności maksymalne (2 wykłady)

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Głównym celem wykładu będzie zapoznanie uczestników z metodą łańcuchową będącą podstawowym narzędziem badania regularności trajektorii procesów stochastycznym. Metoda ta sprawdza się w otrzymywaniu dobrych oszacowań górnych na suprema procesów stochastycznych, pozwala również otrzymywać szacowania dolne w pewnych przypadkach szczególnych. W trakcie wykładu pokażemy zastosowanie metody łańcuchowej do pełnego rozwiązania problemu ograniczoności i ciągłości trajektorii procesów gaussowskich. Opisane będzie analogiczne zagadnienie dla procesów Bernoulliego jak również różne ciekawe wnioski dla procesów nieskończenie podzielnych i procesów empirycznych.

• Wykład - 30 godzin

Celem przedmiotu jest zapoznanie studentów z wybranymi metodami rachunku wariacyjnego w zastosowaniu do równań różniczkowych cząstkowych. W szczególności, z wykorzystaniem bezpośredniej metody rachunku wariacyjnego, twierdzenia o przełęczy górskiej oraz techniki rozmaitości Nehariego wykażemy istnienie rozwiązań dla pewnych problemów eliptycznych.