Analiza matematyczna I.2 (potok I)

fizyka
matematyka

obowiązkowe

Oczekuje się dobrej znajomości zagadnień ujętych w sylabusie przedmiotu Analiza matematyczna I.1.

Przedmiot jest kontynuacją wykładu z Analizy Matematycznej I.1. Materiał obejmuje rachunek różniczkowy i całkowy jednej zmiennej: od pojęcia pochodnej i jego zastosowań (reguła de l’Hospitala, wielomiany Taylora), poprzez teorię ciągów i szeregów funkcyjnych (kryterium Weierstrassa zbieżności jednostajnej, twierdzenie Arzeli-Ascoliego), własności szeregów potęgowych, po teorię całki Riemanna, własności całek niewłaściwych i ich zastosowania (obliczanie długości krzywych klasy C¹, funkcja Γ, wzór Wallisa).

1. Algebraiczne własności różniczkowania (pochodna sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu), pochodna złożenia funkcji i pochodna funkcji odwrotnej. Twierdzenia o wartości średniej (Rolle'a, Lagrange'a i Cauchy'ego). Kryteria monotoniczności funkcji różniczkowalnych. Reguła de l'Hospitala. Ekstrema lokalne. Pochodne drugiego i wyższych rzędów, wzór Taylora z resztą w postaci Peano, Lagrange'a i Cauchy'ego. Wielomiany Taylora funkcji wykładniczej, logarytmu, sinusa, kosinusa, arcus sinusa i arcus tangensa. Punkty przegięcia. Warunek dostateczny na istnienie ekstremum lokalnego lub punktu przegięcia. Funkcje klasy C^k.

2. Ciąg funkcyjny i szereg funkcyjny. Zbieżność punktowa i zbieżność jednostajna ciągu i szeregu funkcyjnego. Jednostajny warunek Cauchy'ego, kryterium Weierstrassa jednostajnej zbieżności szeregu funkcyjnego. Twierdzenie o ciągłości granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych. Różniczkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych, twierdzenie Weierstrassa o jednostajnym przybliżaniu funkcji ciągłych wielomianami (np. wielomiany Bernsteina). Twierdzenie Arzeli-Ascoliego. Przykład funkcji ciągłych nigdzie nieróżniczkowalnych.

3. Szereg potęgowy, promień zbieżności (wzór Cauchy’ego-Hadamarda) i przedział zbieżności. Zbieżność jednostajna i bezwzględna szeregu potęgowego. Twierdzenie Abela o ciągłości szeregu potęgowego w końcu przedziału. Rozwinięcia funkcji elementarnych.

4. Całka nieoznaczona (funkcja pierwotna) i całka oznaczona funkcji ciągłej. Całkowanie przez podstawienie i przez części. Reszta całkowa we wzorze Taylora. Całkowanie funkcji wymiernych (ułamki proste), wyrażeń trygonometrycznych i wyrażeń z pierwiastkami kwadratowymi. Sumy Riemanna, aproksymacja całki z funkcji ciągłej sumami Riemanna. Całkowalność w sensie Riemanna funkcji ciągłej i interpretacja geometryczna całki. Długość wykresu funkcji jako kres górny długości łamanych wpisanych w ten wykres. Płaskie krzywe parametryczne i wektory styczne do nich, wzór całkowy na długość wykresu funkcji klasy C¹ , długość krzywej parametrycznej. Całki niewłaściwe i kryteria ich zbieżności, kryterium całkowe zbieżności szeregu liczbowego. Całki z parametrem i różniczkowanie całki względem parametru w granicach całkowania. Całka Riemanna a zbieżność jednostajna. Funkcja Γ Eulera, wzory Wallisa i Stirlinga. Przykładowe zastosowania rachunku całkowego, np. obliczanie pól i objętości brył obrotowych.

1. A. Birkholc, Analiza matematyczna dla nauczycieli, PWN, Warszawa 1977.

2. B. P. Demidowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Naukowa Książka, Lublin 1992 (tom I) i 1993 (tomy II i III).

3. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom 2-3, PWN, Warszawa 2007.

4. W. Kaczor, M. Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej 2. Funkcje jednej zmiennej - rachunek różniczkowy, PWN, Warszawa 2005.

5. K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1979.

6. W. Pusz, K. Strasburger, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Wydział Fizyki UW, Warszawa 1982.

7. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 2000.

8. P. Strzelecki, Analiza Matematyczna I (skrypt wykładu), http://dydmat.mimuw.edu.pl/sites/default/files/wyklady/analiza-matematyczna-i.pdf

Dodatek do skryptu (aut. M. Jóźwikowski, S. Kolasiński), http://dydmat.mimuw.edu.pl/sites/default/files/wyklady/analiza-matematyczna-i-zadania.pdf

Student:

1. Potrafi uzasadnić poprawność swoich rozumowań. Operuje przykładami.

2. Zna metody obliczania pochodnych i najważniejsze twierdzenia rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, w tym twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej, wzór Taylora i regułę de l'Hospitala. Stosuje typowe narzędzia rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej, m.in. wyznacza ekstrema lokalne, przedziały monotoniczności i wypukłości oraz kresy funkcji zmiennej rzeczywistej, a także rozwiązuje zadania optymalizacyjne w oparciu o badania ekstremów. Posługuje się wzorem Taylora do obliczania granic.

3. Zna pojęcie zbieżności punktowej i jednostajnej ciągu i szeregu funkcyjnego, kryterium Weierstrassa zbieżności jednostajnej, twierdzenie o ciągłości granicy zbieżnego jednostajnie ciągu/szeregu funkcji ciągłych i twierdzenie o różniczkowaniu ciągów funkcyjnych. Potrafi badać zbieżność jednostajną ciągów funkcyjnych i dowodzić ciągłości lub różniczkowalności granic takich ciągów.

4. Zna pojęcie szeregu potęgowego i najważniejsze własności funkcyjne sumy takiego szeregu. Zna wzór Cauchy'ego-Hadamarda. Określa promień zbieżności szeregu potęgowego; potrafi wykorzystać twierdzenie o różniczkowalności szeregów funkcyjnych do sumowania konkretnych szeregów.

5. Zna pojęcie funkcji pierwotnej i całki nieoznaczonej; potrafi całkować przez części i przez podstawienie.

6. Zna pojęcie całki oznaczonej, definicję całki Riemanna i jej interpretację geometryczną. Zna związek całki oznaczonej z nieoznaczoną. Stosuje narzędzia rachunku całkowego w zadaniach o charakterze geometrycznym. Oblicza pole pod wykresem oraz długość krzywej.

7. Zna pojęcie całki niewłaściwej oraz przykłady funkcji, zdefiniowanych za pomocą takich całek. Wykorzystując różne metody bada zbieżność całek niewłaściwych.

Ocena końcowa będzie wystawiona podstawie punktacji z ćwiczeń, dwóch kolokwiów oraz egzaminu.