Matematyka obliczeniowa

obowiązkowe

Oczekuje się dobrej znajomości zagadnień ujętych w sylabusie przedmiotu Algorytmika i programowanie w Pythonie.

Kurs jest wprowadzeniem do teorii i metod rozwiązywania podstawowych zadań obliczeniowych matematyki ciągłej, w których interesuje nas wartość numeryczna rozwiązania, ze szczególnym uwzględnieniem zadań i algorytmów ważnych z punktu widzenia matematyki stosowanej, a także uczenia maszynowego. Główne grupy tematyczne zawierają: (A) podstawy teorii obliczeń numerycznych, (B) metody bezpośrednie dla zadań algebry liniowej, (C) metody bezpośrednie dla zadań analizy, (D) metody iteracyjne dla wybranych zadań.

Przedmiot ma też wersję "gwiazdkową", 1000-114cMOB*.

(A) Podstawy teorii obliczeń numerycznych

• specyfika zadań numerycznych, arytmetyka zmiennoprzecinkowa
• uwarunkowanie i numeryczna poprawność

(B) Metody bezpośrednie dla zadań algebry liniowej

• Układy równań liniowych
  • rozkład trójkątno-trójkątny macierzy
  • własności numeryczne, rola uwarunkowania macierzy
• Liniowe zadanie najmniejszych kwadratów
  • algorytm Householdera i rozkład ortogonalno-trójkątny macierzy
  • rozkład macierzy według wartości szczególnych (SVD) i regularyzacja

(C) Metody bezpośrednie dla zadań analizy

• Numeryczna aproksymacja funkcji
  • interpolacja wielomianowa i splajnowa
  • aproksymacja jednostajna, tw. o alternansie
  • aproksymacja średniokwadratowa, wielomiany ortogonalne
• Całkowanie numeryczne
  • kwadratury interpolacyjne i Gaussa, błąd
  • adaptacja i randomizacja

(D) Metody iteracyjne dla wybranych zadań

• Iteracje dla algebraicznego zadania własnego
  • metoda potęgowa, iteracje podprzestrzeni
• Iteracje dla zadań nieliniowych
  • iteracje proste i metoda Newtona dla równań nieliniowych
  • metody iteracyjne (w tym: gradient descent) dla zadania optymalizacji

• Ake Bjorck and Germund Dahlquist, Metody numeryczne. PWN, Warszawa 1987
• Maksymilian Dryja, Janina i Michał Jankowscy, Przegląd metod i algorytmów numerycznych. Biblioteka Inżynierii Oprogramowania. WNT, Warszawa 1995.
• David Kincaid and Ward Cheney, Numerical analysis. Mathematics of scientific computing. 2nd ed., Brooks/Cole Publishing Co., Pacific Grove, CA, 1996.
• Leszek Plaskota, Dwanaście wykładów z matematyki obliczeniowej. http://www.mimuw.edu.pl/~leszekp/dydaktyka/textbook.pdf, 2002 (skrypt).
• Krzysztof Moszyński, Metody numeryczne dla informatyków. http://www.mimuw.edu.pl/~kmoszyns/c.ps, 2004 (skrypt).

* Wiedza

Absolwent zna i rozumie:

- rolę i znaczenie dowodu w matematyce, a także pojęcie istotności założeń (K_W01),

- budowę teorii matematycznych (K_W02),

- najważniejsze twierdzenia z podstawowych działów matematyki (K_W03),

- przykłady, zarówno ilustrujące konkretne pojęcia matematyczne, jak i pozwalające obalić błędne hipotezy lub nieuprawnione rozumowania (K_W04),

- podstawy i ograniczenia technik obliczeniowych i programowania, wspomagających pracę matematyka (K_W08),

- cywilizacyjne znaczenie matematyki i jej zastosowań (K_W10).

* Umiejętności

Absolwent potrafi:

- w sposób zrozumiały, w mowie i na piśmie, przedstawiać poprawne rozumowania matematyczne, formułować twierdzenia i definicje (K_U01),

- interpretować i wyjaśniać zależności funkcyjne, ujęte w postaci wzorów, tabel, wykresów, schematów i stosować je w zagadnieniach praktycznych (K_U11),

- wykorzystywać narzędzia i metody numeryczne do rozwiązywania wybranych zagadnień analizy matematycznej i algebry liniowej (K_U15),

- rozpoznawać problemy, w tym zagadnienia praktyczne, które można rozwiązać algorytmicznie i dokonać specyfikacji takiego problemu (K_U27),

- posługiwać się różnymi konstrukcjami programistycznymi i strukturami danych, układać algorytmy i określać ich własności (K_U28),

- dostrzegać ograniczenia własnej wiedzy i konieczność jej ciągłego uzupełniania i aktualizowania (K_U42).

* Kompetencje społeczne

Absolwent jest gotów do:

- analizy przedstawionego lub stworzonego przez siebie rozumowania pod kątem poprawności i kompletności (K_K01),

- precyzyjnego formułowania pytań, służących pogłębieniu własnego zrozumienia danego tematu lub odnalezieniu brakujących elementów rozumowania (K_K02).